МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ
(МИИГАиК)
РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
" УПРУГИЕ СИЛЫ И СИЛА СОПРОТИВЛЕНИЯ "
Выполнил: студ. ФПКиФГиДЗакс и фгм I-1м
Проверил: к. ф.-м. н., доц.
МОСКВА 2016
Введение
Задачей расчетно-графической работы является построение нескольких траекторий точки, движущейся под действием упругих сил и силы сопротивления.
F=kx (1);
где, F – сила упругости, x – удлинение пружины в результате ее растяжения, k – жесткость пружины, показывающая в какой именно зависимости находятся сила упругости и удлинение. Чем жестче пружина, тем труднее ее растянуть, и тем большее значение будет иметь коэффициент k, а чем больше k, тем больше будет сила упругости.
Следует использовать и метод Эйлера и процедуру Odesolve.
Уравнение движения Ньютона
Уравнение движения Ньютона - самый важный закон физики. Именно с него начинается решение любой задачи на движение.
Если точка массы 
под действием силы 
движется вдоль прямой, то для нее выполняется второй закон Ньютона
Здесь 
- координата точки, а 
- ее ускорение.
Точка сверху используется в механике для обозначения производной по времени. Так что 
- это скорость точки и 
- это естественное обозначение для ускорения, а именно 
. Используя эти обозначения, мы можем переписать второй закон Ньютона в виде
Здесь мы еще уточнили, что силы, которые действуют на точку, могут зависеть от ее положения и скорости (бывает еще и от времени).
Для частицы, движущейся в плоскости, уравнения движения Ньютона выглядят аналогичным образом
Здесь 
- координаты движущейся точки, 
- ее скорость и 
- сила, действующая на частицу. Мы увидим, что система этих уравнений позволяет построить траекторию для любой движущейся точки. Как только будет задана сила 
, можно будет браться за построение любой соответствующей траектории.
Метод Эйлера
Рассмотрим задачу на построение траектории упругой силы с силой сопротивления в программной среде Mathcad.
Формулы сил: 
;
Чтобы использовать в расчете обе силы, сложим их:
Существует универсальный численный метод построения траекторий частицы, для которой известны уравнения движения Ньютона
Мы задаем начальное положение частицы 
и ее начальную скорость 
, выбираем маленький промежуток времени 
и начинаем по индукции вычислять те же самые величины 
в следующие моменты времени 
. Вот эти формулы для вычисления
В результате получим последовательные точки 
, лежащие на траектории частицы. Поскольку промежуток времени 
мал, эти точки близки друг к другу. Если вывести их на экран компьютера, то они сольются в непрерывную траекторию.
Давайте посмотрим, почему метод Эйлера работает правильно. Из написанного выше соотношения для координат имеем
но это просто следует из определения скорости – новая координата получается из старой добавлением скорости, умноженной на приращение времени.
Для координат скорости имеем
но это в свою очередь следует из закона движения Ньютона – 
и 
являются координатами ускорения, и из определения самого ускорения – новая скорость получается из старой добавлением ускорения, умноженного на приращение времени.
Решим задачу в среде Mathcad:
Опишем переменные – входные значения.
Жесткость пружины – k присвоим значение 2. Масса частицы m – значение 1. Начальное положение частицы 
– 1, 0 соответственно. Начальная скорость частицы 
– 1, 2. Время полета – T присвоим значение 100. Количество точек на траектории – N значение 1000. Шаг по времени – ?t=T/N=0,1. Коэффициенту сопротивления 
присвоим значение 0,5.
Рисунок 1. Решение Mathcad методом Эйлера.
В графическом окне на рисунке 1, можно видеть, отрезок траектории движущегося тела полученного методом Эйлера.
Оператор Odesolve
Рассмотрим задачу на построение траектории упругой силы с силой сопротивления в программной среде Mathcad.
Формулы сил: 
;
Чтобы использовать в расчете обе силы, сложим их:
Mathcad использует более точные методы вычислений. За решение систем дифференциальных уравнений отвечает оператор Odesolve. Для решения уравнений движения Ньютона в поле силы
необходимо задать начальные условия, то есть векторы начального положения и начальной скорости
определить промежуток времени 
, для которого будет строиться траектория движения и задать количество интервалов 
, на которое при решении будет разбит этот промежуток времени.
Решим задачу в среде Mathcad:
Опишем переменные – входные значения.
Жесткость пружины – k присвоим значение 2. Масса частицы m – значение 1. Начальное положение частицы 
– 1, 0 соответственно. Начальная скорость частицы 
– 1, 2. Времени полета – T присвоим значение 100. Количество точек на траектории – N значение 1000. Шаг по времени – t=T/N=0,1. Коэффициенту сопротивления 
присвоим значение 0,5.
Рисунок 2. Решение Mathcad оператором Odesolve.
В графическом окне на рисунке 2, можно видеть, отрезок траектории движущегося тела полученного оператором Odesolve.
Заключение
При одинаковых условиях решения задачи, траектория движения частиц похожа, но не совсем одинакова.
Рисунок 3. Траектория движения частицы: метод Эйлера слева, оператор Odesolve справа
Из полученных результатов и особенности метода Эйлера следует заметить, что результат будет наилучшим при наибольшем количестве точек на траектории, приближая результаты вычислений метода Эйлера к результатам вычислений оператором Odesolve, использующего наиболее точные методы вычисления.
Рассмотрим траекторию построенную методом Эйлера, увеличив количество точек на траектории с 1000 до 5000 (N=5000), сохранив прошлые исходные данные.
Рисунок 4. Решение Mathcad методом Эйлера,
при увеличенном количестве точек на траектории.
Как видно из полученного решения, траектория частицы заметно изменилась, относительно решения с наименьшим количеством точек.
Рисунок 5. Траектория движения частицы: метод Эйлера, 1 траектория, слева; оператор Odesolve посередине; метод Эйлера, 2 траектория, справа.
Из рисунка 5 можно видеть, что решение методом Эйлера с наибольшим количеством точек на траектории дает более точный результат, основываясь на сравнении траекторий построенных оператором Odesolve и 2-ой траектории построенной методом Эйлера – они почти одинаковы.
