6 класс, лига А

1. Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной  из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две  дороги из шести открываются для движения и за это время автомобиль,  если может, успевает переехать на соседний перекресток, где еще не  был. Известно, что никакая пара дорог не открывается более одного  раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое  максимальное время он мог находиться в пути?

2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?

3.

4.

5.

6.

7.

8. На доске написано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, всегда можно выбрать ещё одно, чтобы сумма этих четырёх чисел была положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.

9.

10. Два последовательных двузначных числа выписали друг за другом. Оказалось, что полученное четырехзначное число делится на 51.  Какие двузначные числа выписали? Укажите все варианты.

6 класс, лига Б

1.

2. По словам хвастливого рыболова, он поймал рыбу, у которой голова была длиной 60 мм, хвост длиной с голову и половину туши, а туша с половину длины рыбины с головы до хвоста. Какой же длины чудо - рыба?

3. . Некоторые буквы заменили цифрами, причем одинаковые – одинаковыми, разные – разными. Даны 4 числа 1234, 5678, 9278, 0834 и имена ВАЛЯ, КОЛЯ, ДИМА, РОМА. Запишите на этом шифре КИРОВ.

4.

5.

6.

7. Куб покрасили со всех сторон и распилили на равные кубики. Оказалось, что кубиков, у которых покрашена ровно одна грань,  в два раза больше, чем полностью непокрашенных кубиков. На сколько кубиков распилили куб?

8.  Может ли пятизначное число равняться произведению своих цифр?

       Ответ: Не может. Доказательство. Возьмем пятизначное число . Произведение его цифр не превосходит а?9?9?9?9 = а?94. Само же это число не меньше, чем = а?104. Поскольку а?104 > а?94 (так как а > 0), все доказано.

7 класс, лига А

1. . Имеется система дорог, образующих правильный шестиугольник. В одной  из вершин перекрестков стоит автомобиль. Каждую минуту какие-то две  дороги из шести открываются для движения и за это время автомобиль,  если может, успевает переехать на соседний перекресток, где еще не  был. Известно, что никакая пара дорог не открывается более одного  раза. В итоге автомобиль добрался до первоначальной вершины. Какое  максимальное время он мог находиться в пути?

2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?

3. головоломка больше меньше

4. Пусть имеется 10 ящиков, из которых некоторые (но не все) содержат настоящие монеты (весом 10 г), а некоторые (но не все) - фальшивые (весом 9 г). У нас есть весы со стрелкой, которые позволяют точно узнать вес одной или нескольких монет. Как определить все фальшивые ящики за одно взвешивание?

5.

6.

7.

8. На доске написано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, всегда можно выбрать ещё одно, чтобы сумма этих четырёх чисел была положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна? Если да, то докажите, если нет, то приведите пример.

9.

10. Барон Мюнхгаузен утверждает, что знает два таких последовательных четырехзначных числа, что если одно из них приписать справа от другого, то восьмизначное число-результат будет делиться на 137. Не хвастает ли барон?

7 класс, лига Б

1.

2. На городскую олимпиаду пришли школьники и учителя (конечно, школьников больше). Каждый школьник взял с собой по пять ручек и совсем не брал тетрадей, а каждый учитель взял лишь по две ручки, но зато также взял по семь тетрадей. Оказалось, что общее количество ручек на столько же превосходит общее количество тетрадей, на сколько процентов школьников больше, чем учителей. Сколько учителей пришло на олимпиаду?

3.

4.

5.

6.

7.

8. Может ли пятизначное число равняться произведению своих цифр?

       Ответ: Не может. Доказательство. Возьмем пятизначное число . Произведение его цифр не превосходит а?9?9?9?9 = а?94. Само же это число не меньше, чем = а?104. Поскольку а?104 > а?94 (так как а > 0), все доказано.