Задача 1.
На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик. Каждый учёный владел двумя языками из четырёх (русским, английским, французским и итальянским), но не было такого языка, на котором могли бы разговаривать все четверо. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из учёных не владеет и французским, и русским языками. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком, если историк и биолог захотят побеседовать. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик могут разговаривать на одном языке. Какими двумя языками владеет каждый учёный?
Решение:
Языки
профессия Русский Английский Французский Итальянский
Математик - + - +
Биолог - - + +
Физик + - - +
Историк + + - -
Высказывания и их взаимосвязи в задаче бывают сложными, так что разобраться в них без специального аппарата достаточно трудно. Проще решать такие задачи, используя алгебру логики.
Задача 2. (газета №38 Информатика)
В деле об убийстве имеются два подозреваемых: X и Y. Допросили четырёх свидетелей.
Показания первого свидетеля: «X не виноват».
Показания второго свидетеля: «Y не виноват».
Показания третьего свидетеля: «Из двух показаний по крайней мере одно истинное».
Показания четвёртого свидетеля: «Показания третьего свидетеля ложные».
Четвёртый свидетель оказался прав. Кто же совершил убийство?
Задача 3. (газета №38 Информатика)
Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде 4 первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1.Сергей – первый, Роман – второй;
2.Сергей – второй, Виктор – третий;
3.Леонид – второй, Виктор – четвертый.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?
Решение.
Рассмотрим простые высказывания:
S1={Сергей занял первое место};
R2={Роман занял второе место};
S2={Сергей занял второе место};
V3={Виктор занял третье место};
L2={Леонид занял второе место};
V4={Виктор занял четвертое место}.
На языке алгебры логики ответы ребят можно записать следующим образом:
S1+ R2=1,
S2 + V3=1,
L2+ V4=1.
Конъюнкция истинных высказываний истинна. Следовательно, имеет место равенство:
(S1 + R2)&(S2 + V3)&(L2 + V4)=1
Преобразуем левую часть этого равенства:
(S1 & S2 + S1 & V3 + R2 & V3 + R2 & S2)&(L2 + V4)=1
(S1& (S2 + V3) & (L2 + V4) + R2 & (S2 + V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & S2) + (S1 & V3) + (L2 & V4) + (R2 & S2) + (R2 & V3) + (L2 & V4)=1
Заметим, что
S1 & S2=0, так как Сергей не может одновременно занимать первое или второе места.
R2 & S2=0, так как второе место принадлежит одному из ребят.
0 + (S1 & V3) & (L2 + V4) + 0 + (R2 & V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & V3) & (L2 +V4) + (R2 & V3) & (L2 + V4) = (S1 & V3 +R2 & V3) &
& (L2 + V4)
Значит,
(S1 & V3 + R2 & V3) & (L2 + V4)=1
Раскроем скобки:
S1 & V3 & L2 +S1 & V3 &V4+R2 & V3 & L2 + R2 & V3 & V4=1
Заметим, что
V3 & V4=0
R2 & L2=0
Следовательно,
S1 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & L2=0.
Далее получаем:
S1 & V3 & L2 + 0 + 0 + 0 =1
S1 & V3 & L2=1
Другими словами, места на олимпиаде распределились так:
Сергей – 1-е место,
Леонид – 2-е место,
Виктор – 3-е место,
Роман – 4-е место.
Задача 4.
Однажды гномы, решившие отправиться за сокровищами, собрались на совет, чтобы обсудить возможные опасности, которые их ожидают. Было высказано 3 предположения:
1.Их либо захватят гоблины, либо нападёт дракон, либо они заблудятся в лесу, либо их ожидают какие-то 2, а может быть все 3 из этих опасностей.
2. Если дракон не нападёт, то они утонут в реке.
3.И дракон нападёт, и заблудятся в лесу.
Помогавший им волшебник успокоил их и сказал, что 2-ое и третье предположения ложны. Каких же опасностей следует ожидать гномам?
Задача 5.(газета №38 Информатика)
Три подразделения А, В, С – торговой фирмы стремились получить по итогам года максимальную прибыль. Экономисты высказывали следующие предположения:
1.А получит максимальную прибыль только тогда, когда получат максимальную прибыль В и С.
2.Либо А и С получат максимальную прибыль одновременно, либо одновременно не получат.
3.Для того, чтобы С получило максимальную прибыль, необходимо, чтобы и В получило максимальную прибыль.
По завершении года оказалось, что одно из трёх предположений ложно. Какие из названных подразделений получили максимальную прибыль?
Задача 6.
В клуб служебного собаководства на очередную тренировку пришли со своими собаками Антон, Борис, Петр, Виктор и Олег. Желая подшутить над новым инструктором, на его вопрос «Кто же хозяин каждой из собак?» каждый юноша дал один правильный и один неправильный ответ.
Антон сказал: «Моя собака – Рекс, а собака Петра - Лайма». Борис сказал: «Рекс – моя собака, а собака Виктора - Джек». Петр сказал: «Собака Виктора – Зевс, а моя – Рекс». Виктор сказал: «Моя собака – Джек, а собака Олега - Бичо». Олег сказал: «Да, моя собака – Бичо, а собака Бориса - Зевс».
Кто же на самом деле хозяин каждой из собак?
VI. Домашнее задание.(газета №38 Информатика)
По обвинению в ограблении перед судом предстали Иванов, Петров, Сидоров. Следствием установлено следующее:
1.Если Иванов невиновен или Петров виновен, то Сидоров виновен.
2.Если Иванов невиновен, то Сидоров невиновен.
Виновен ли Иванов?
Дополнительно
Решить задачу алгебраическим методом:Учитель проверил работы трех учеников: Алеши, Димы и Сашы, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: "Все вы написали работу и получили разные оценки. У Сашы не "5", у Димы не "4", а вот у Алеши, по-моему "4". Впоследствии оказалось, что учитель ошибься: одному ученику сказал верно, а двум другим - нет. Определите, какие оценки ученикам поставил учитель?
2. Решить логическую задачу алгебраическим методом:
Четыре команды: "Артек", "Сокол", "Вымпел" и "Метеор" - в спортивных соревнованиях заняли четыре призовых места, причем ни одно место не было разделено между командами. О занятых командами местами были получены три высказывания:
1. "Второе место "Сокол", а "Метеор" третье";
2. "Победителем вышел "Сокол", а "Вымпел" был вторым";
3. "Второе место занял "Артек", а "Метеор" был последним".
Какое место заняла каждая команда, если известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а другое ложно?
3. Решить задачу маетматическим методом:
На марафонском беге были высказаны 2 прогноза о местах, которые займут спортсмены Иванов, Петров, Сидоров, реально преиендующие на призовые места.
1. Сидоров будет первым, Иванов - 2-м, Петров придет третьим.
2. Победит Иванов, Петров добежит 2-м, Сидоров - 3-й.
После соревнования оказалось, что эти спортсмены заняли три первых места, но оба предсказания оказались ложными. Ни в одном из предсказаний ни одно место не было названо правильно.
Кто какое место занял в марафонском бегу?
