Заочный тур
Что больше
или 
? Решение.
Пусть 
.
Тогда 
, 
. Рассмотрим разность 
Так как 
, то 
. Значит, 
и 
Найти сумму
. Решение.
Так как 
, то 
Построить график функции
. Решение.
Найдем область определения функции: 
, 
.
Таким образом, график имеет вид
Решите неравенство
. Решение.
Найдем область допустимых значений переменной:
Наносим найденные точки на числовую ось и вычисляем знаки на каждом интервале:
Решений нет.
На стороне АВ треугольника АВС выбрана точка D так, что AB=4AD. Для некоторой точки Р, лежащей на дуге АСВ описанной окружности около треугольника АВС, равны углы ADP и ACB. Докажите, что PB=2PD.
Решение.
Угол APB равен углу ACB как опирающиеся на одну дугу. Треугольники ADP и APB подобны по трем углам. Запишем равенство отношений сторон: AP/AB=AD/AP=PD/PB. Из первого равенства и условия AD=AB/4 получаем, что AP=AB/2. Из второго равенства получаем, что PD=PB/2.
Красная Шапочка испекла вафли и отнесла их трем бабушкам. Все три бабушки получили одинаковое число вафель, но вредный Волк следил за Красной Шапочкой и перед входом в дом каждой из трех бабушек съедал 3/4 всех вафель, имевшихся в тот момент. В итоге у Красной Шапочки не осталось вафель. Какое наименьшее число вафель могло быть у Красной Шапочки в самом начале?
Решение.
Пусть каждой бабушке Красная Шапочка принесла каждой бабушке по одной вафле (минимальное количество). Тогда перед входом в дом к третьей бабушке у нее было 4 вафли. Значит, перед входом ко второй бабушке у Красной Шапочки было (4+1)
4=20 вафель, а перед входом к первой бабушке (т. е. в самом начале) – (20+1)
4=84 вафли.
Перед боем у Василия Ивановича и Петьки было поровну патронов. Василий Иванович израсходовал в бою в 8 раз меньше патронов, чем Петька, а осталось у него в 9 раз больше патронов, чем у Петьки. Доказать, что изначально количество патронов у Василия Ивановича делилось на 71.
Решение.
Пусть до боя у Василия Ивановича было x патронов, а израсходовал он 8y патронов. Тогда перед боем у Петьки было тоже x патронов, а израсходовал он y патронов. Тогда
x – y = 9(x – 8y),
откуда 71y = 8x,
так что 8x делится на 71. Поскольку число 71 простое, из делимости числа 8x на 71 следует делимость на 71 и самого числа x.
В треугольнике АВС медиана, выходящая из вершины А, перпендикулярна биссектрисе угла В, а медиана, выходящая из вершины В, перпендикулярна биссектрисе угла А. Известно, что АВ=1. Найдите периметр треугольника АВС.
Решение.
Пусть АМ – медиана, проведённая из вершины А. Тогда в треуголь-
нике ABM биссектриса угла В перпендикулярна стороне AM, т. е. биссектриса является и высотой. Значит, этот треугольник равнобедренный, AB=BM=1. Но тогда ВС = 2BM = 2. Аналогично из второго условия получаем, что сторона АС
в два раза больше АВ, т. е. периметр треугольника АВС равен 1+2 + 2 = 5.
. Укажите допустимые значения переменных. Решение.
Найдем допустимые значения переменных.
. Какой сомножитель надо вычеркнуть из произведения 
, чтобы оставшееся произведение стало квадратом некоторого натурального числа. Решение.
Заметим, что1! ? 2! ? 3! ? 4! ?…? 20! = (1! ? 2!) ? (3! ? 4!) ?…? (19! ? 20!) =
= (1! ? 1! ? 2) ? (3! ? 3! ? 4) ? (5! ? 5! ? 6) ?…? (17! ? 17! ? 18) ? (19! ? 19! ? 20) =
= (1!)2 ? (3!)2 ? (5!)2 ?…? (19!)2 ? (2 ? 4 ? 6 ? 8 ?…? 18 ? 20) =
= (1!)2 ? (3!)2 ? (5!)2 ?…? (19!)2 ? (2 ? (2 ? 2) ? (3 ? 2) ?…? (10 ? 2)) =
= (1! ? 3! ?…? 19!)2 ? 210 ? (1 ? 2 ? 3 ?…? 2 ? 10) = (1! ? 3! ?…? 19!)2 ? 210 ? 10!
Первые два множителя – квадраты, поэтому, если вычеркнуть 10!, то останется квадрат некоторого натурального числа.
