Треугольники

Треугольники

	Треугольником называется фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Обозначение: ?ABC, ?BCA, ?CAB
Периметр – сумма длин всех сторон P?ABC = AB + BC + AC	Элементы: Вершины – A, B, C (точки) Стороны – AB, BC, AC (отрезки) Углы – ?BAC, ?ABC, ? ACB (?A, ?B, ?C)
Сумма углов треугольника равна 180?, т. е. ?A+ ?B+ ?C = 180°
Внешний угол треугольника – угол, смежный с одним из углов треугольника	Внешний угол треугольника 1) равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним, ?4 = ?1 + ?2 2) больше любого внутреннего угла, не смежного сним, ?4 > ?1, ?4 > ?2
Виды треугольников
Остроугольный	Прямоугольный	Тупоугольный
Разносторонние  (все стороны разные)
все углы острые (меньше 90°)	один угол прямой (равен 90°)	один угол тупой  (больше 90°)
Равнобедренные  (две стороны равны – боковые)
Равносторонние  (все стороны равны)
Основные линии в треугольнике
Медиана (отрезок, соединяющий верщину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника)	Биссектриса (отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника)	Высота (перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника)
AM = MC	?ABD = ?CBD	BH ? AC
Средняя линия реугольника (отрезок, соединяющий середины двух его сторон)
MN - средняя линия М – середина АВ  (AM = MB) N – середина ВС (BN = NC)	Свойство: MN || AC MN = AC

Соотношения между сторонами и углами треугольников
Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.	Сравните углы треугольника АВС, если АВ>BC>AC. Ответ. ?C>?A>?B
В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, и наоборот, против равных углов лежат равные стороны.
Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности  a < b + c, a > b – c;   b < a + c, b > a – c;   c < a + b, c > a – b.	Существует ли треугольник со сторонами 5см, 8см и 12см? 5<8+12 ? 8<5+12 ? 12<5+8 ? Ответ. не существует

Признаки равенства треугольников	Признаки подобия треугольников
По двум сторонам и углу между ними По стороне и двум прилежщим к ней углам По трем сторонам	По двум пропорциональным сторонам и углу между ним По двум равным углам По трем пропорциональным сторонам

Равнобедренный треугольник

Равнобедренный треугольник — треугольник у которого равны две стороны.

Равносторонний треугольник — треугольник у которого все стороны равны.

Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.

Свойства равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. Центры вписанной и описанной окружностей лежат на высоте, биссектрисе и медиане (они совпадают) проведенных к основанию.

Признаки равнобедренного треугольника

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Если в треугольнике медиана является высотой, то он равнобедренный. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то он равнобедренный. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то он равнобедренный.

Формулы для вычисления площади треугольника

Элементы равностороннего треугольника
Высота (h)
Радиус вписанной окружности (r)
Радиус описанной окружности (R)