Билет №1 Лин. пр-ва над произв. полем. Ранг и база сис. вект

Билет №1 Лин. пр-ва над произв. полем. Ранг и база сис. вект

Пусть дано поле P. Непустое множество V называется линейным или векторным пространством над полем P, если на этом множестве определены внутренний закон композиции VxV => V, называемый сложением, и внешний закон композиции PxV => V, называемый умножением на число из поля P, удовлетворяющие аксиомам:
для любых a, b,c из V и ?, ? из P
1) a + b = b + a;
2) (a+b)+c = a+(b+c)
3) существует такой элемент 0 из V, что a + 0 = 0 + a = a
4) Для любого элемента из V существует обратный: a + (-a) = (-a) + a = 0
5) 1*a = a
6) ?(?a) = (??)a
7) (? + ?)a = ?a + ?a
8) ?(a+b) = ?a + ?b
Лин. пространство над полем R называется вещественным, над полем C – комплексным.
Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они отличаются только числовым множителем: x = ?y
Примеры:
1. Pn – линейное пространство арифметических векторов x = {x1,x2…xn}, все xk из P, сложение и умножение задается покоординатно.
2. Аналогично, арифметическое пространство Cn, CnR – умножение только на вещ. числа.
Аффинным пространством над линейным пространством V называется множество S элементов, называемых точками, для которых заданы
а) линейное пространство V над полем P
б) отображение v: S x S => V, ставящее каждой паре упорядоченных точек A, B из S вектор v(A, B) из V и удовлетворяющий аксиомам:
1)Для любой точки A из S и любого вектора a из V существует единственная точка B такая, что v(A, B) = a
2) для любых трех точек A, B,C из S имеет равенство v(A, B) + v (B, C) = v(A, C)
Обозначаются векторы так: AB (буду обозначать без стрелки)
Из аксиом следует: AB = 0 только тогда, когда A = B, AB = - BA
Размерностью аффинного пространства S называется размерность пространства V.
Примеры:
1.геометрические пространства V1,V2,V3 – аффинные пространства над самими собой
2. любое линейное пространство V можно рассматривать как аффинное над самим собой – для этого нужно определить отображение v(a, b) = a – b
3. любое аффинное пространство можно рассматривать как линейное. Для этого, зафиксировать точку O и назвать началом. Тогда каждой точке A можно сопоставить вектор OA, называемый радиус-вектором точки А относительно начала О. Множество радиус – векторов всех точек S и есть линейное пространство V.

Теорема. Отображение ф: S => V, определяемое правилом ф(А) = ОА, является биекцией, сохраняющей операцию v аффинного пространства, т. е. v(A, B) = v(ф(А), ф(В))
Доказательство:
биективность вытекает непосредственно из аксиомы 1, а равенство получается из примера 2 и 3 (см ранее) – получается разность векторов: АВ = ОВ – ОА
Будем рассматривать конечные системы a1..ak векторов линейного пространства. Линейно независимая подсистема векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы, называется базой этой системы векторов.
Примеры
1. В системе из нулевых векторов нет базы, любая её подсистема линейно зависима.
2. Базисные строки матрицы, согласно теореме о базисном миноре образуют базу системы строк, рассматриваемых как векторы арифметического пространства. Это же относится и к базисным столбцам.
3. В системе трех неколлинеарных векторов плоскости V2 любая пара векторов образует базу.
Теорема. Подсистема является базой тогда и только тогда, когда образует максимальную линейно независимую подсистему.
Доказательство:
Необходимость
Пусть в системе a1..ar…ak, подсистема a1…ar образует базу. Тогда любая большая система будет линейно зависима (любой вектор, добавленный в базу – линейно будет выражаться через остальные). Так что, это максимальная линейно независимая подсистема.
Достаточность
Если она максимального размера – при добавлении в неё любого другого вектора системы – она становится линейно зависимой - добавленный вектор линейно выражается через остальные вектора – таким образом, любой вектор системы линейно выражается через них.
Следствие. Все базы одной системы состоят из одного количества векторов, равного макс числу линейно независимых векторов.
Число векторов базы называется рангом системы векторов. Две системы эквивалентны, если любой вектор одной системы линейно выражается через вектора другой системы.
Теорема. Если система векторов a1..ak линейно выражается через b1..bm, то rg(a1..ak) <= rg(b1..bm).
Доказательство:
Раз все векторы одной системы выражаются через другую, то и база a1..ar линейно выражается через базу b1…bs – значит, r <= s.
Следствие. Ранги эквивалентных систем совпадают
Следствие. Эквивалентные линейно независимые системы состоят из одинакового числа векторов

Билет 2. Изоморфизм линейных пространств.

Два линейных пространства называют изоморфными, если существует биективное отображение ф: V1 -> V2, которое сохраняет законы композиции, т. е, для любых x, y из V1 и ? из P:
1) ф(x+y) = ф(x) + ф(y)
2) ф(?x) = ?ф(х).
Примеры:
1) Геометрические пространства V1,V2 и V3 изоморфны пространствам R1,R2 и R3 арифметических векторов.
2) V2 изоморфно пространству комплексных чисел над вещественным полем
3) Пространства матриц mxn изоморфно пространству арифм. векторов длины mn
Простейшие свойства:
1. Отношение изоморфизма – отношение эквивалентности на множестве всех линейных пространств над полем Р
2. в изоморфных пространствах
а) образ (и прообраз) л/к векторов есть л/к образов (прообразов) с теми же коэффициентами
б) образ (и прообраз) нулевого вектора – нулевой вектор
в) образ и прообраз лин н/з системы – линейно независимая
г) образ и прообраз базиса – базис
Теорема. Критерий изоморфизма.
Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности совпадают.
Док-во.
Необходимость. вытекает из свойства г (образ и прообраз базиса есть базис)
Достаточность.
Выбираем из пространств базисы, строим отображение, ставящее в соответствие каждому вектору из первого пространства вектор из второго пространства с такими же координатами в базисе и получаем биективное отображение, являющееся изоморфизмом!
Следствие. Любое n-мерное пространство изоморфно Rn, с комплексными аналогично.

Билет 3. Сумма и пересечение подпространств.

Пусть L1..Lk – линейные подпространства пространства V. Суммой подпространств L1..Lk называется множество всевозможных векторов x, представимых в виде x = x1 + … + xk, где xi из Li для любых i от 1 до k. Обозначается как L1 + L2 +.. + Lk
Представление вектора в виде такой суммы называется разложением вектора x по подпространствам L1.. Lk
Пересечением подпространств L1..Lk называется множество, в котором содержаться только те вектора, которые содержатся в каждом из подпространств L1..Lk
Пересечение пустым не бывает, как минимум это нулевой вектор.
Теорема. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства V также является подпространством V.
Доказательство следует из определения подпространства.
Теорема. Сумма линейных подпространств есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых подпространств.
Доказательство – просто проверяем двустороннее вложение.
Следствие. Размерность суммы подпространств равна рангу мовокупности базисов слагаемых подпространств.
Теорема. Для любых двух подпространств выполняется равенство dim(L1+L2) = dimL1 + dim L2 – dim(L1^L2)
Доказательство.
Если пересечение ненулевое, то смотрим его базис – f1..fn – так как пересечение является подпространством каждого из исходных подпространств, этот базис можно дополнить до базиса каждого из подпространств. Дополним, получим два базиса. В каждом из них будет n векторов из базиса пересечения. А если дополнить до базиса совокупности сразу, получим n векторов из базиса пересечения и еще m и s дополняющих векторов до базиса первого и второго подпространства. То есть, m+s+n = m+n + s +n – s – верно, доказано.

Билет 4. Прямая сумма.

Сумма называется прямой, если разложение каждого вектора в ней по слагаемым подпространствам единственно.
Теорема. Критерии прямой суммы. Для подпространств L1..Lk конечномерного линейного пространства V следующие утверждения равносильны:
1) сумма подпространств L1..Lk – прямая
2) совокупность базисов L1..Lk – линейно независима
3) совокупность базисов подпространств является базисом суммы этих подпространств
4) размерность суммы подпространств равна сумме их размерностей
5) существует вектор, для которого разложение по этим подпространствам единственно
6) произвольная система векторов, взятых по одному из каждого подпространства – л/нз
7) пересечение двух любых подпространств нулевое
Доказательство.
1 => 2
Предположим, что совокупность базисов – линейно зависима, т. е. существует нетривиальная нулевая л/к. Из кусочков этой линейной комбинации составим вектора x1, …, xk – каждый из комбинации базисов подпространств L1..Lk соответственно. Тогда их сумма даст нулевой вектор – получили два разложение нулевого вектора – противоречие
2 => 1
Предположим, что сумма не прямая – значит, есть один вектор, имеющий два разных разложения – найдем эти разложения и вычтем друг из друга, разложим их по совокупности базисов подпространства и в итоге это должно быть равно нулевому вектору – совокупность базисов линейно зависима, противоречие.
2 ? 3 – из теоремы из предыдущего билета
3 ? 4 – почти то же самое, ток написано по другому.
1 => 5 – очевидно
5 => 1
Аналогично 2 => 1, находим второе разложение нулевого вектора, прибавляем к тому, который имеет одно разложение и получаем два разложения – противоречие
1 => 6
пусть она (см условие 6) ) линейно зависима – тогда берем с нужными коэффициентами – получаем второе разложение нуля и значит, это не прямая сумма – противоречие
6 => 1
опять берем два разных разложения вектора, вычитаем одно из другого, каждую отдельную разность принимаем за вектор и получаем зависимую комбинацию из условия 6)
4 ? 7 – следует из предыдущей теоремы.
Теорема. Линейное пространство является прямой суммой двух подпространств тогда и только тогда, когда
1) dimV = dim L1 + dim L2
2) L1^L2 = {0}
Доказательство – необходимость следует из 4 и 7 утверждений, достаточность - смотрим по 2 условию, что сумма прямая, смотрим размерность L – оно равно размерности V – доказано.
Дополнительно подпространство
Пусть L – линейное подпространство пространства V. Подпространство L? называется дополнительным к L, если в прямой сумме с L оно дает пространство V.
Теорема. Для любого подпространства существует дополнительное.
Доказательство – находим базис L, дополняем его до базиса V – натягиваем оболочку на то, чем дополнили и получаем необходимое.

Билет 5.Евклидово и унитарное пр-во. Нер-во Коши-Буняковского

Пусть V – вещественное или комплексное линейное пространство. Отображение V x V -> P называется скалярным произведением, если оно удовлетворяет следующим аксиомам: для любых x, y,z из V и любого ? и Р
1) (x, y) = ?(y, x)
2) (?x, y) = ?(x, y)
3) (x+y, z) = (x, z)+(y, z)
4) (x, x) >=0 и = о только тогда, когда x = 0.
Вещественное линейное пространство с заданным скалярным произведением называется евклидовым, а комплексное – унитарным.
Примеры
1. Геометрические пространства V1,V2,V3.
2. В арифметическом пространстве Rn скалярное произведение можно ввести как сумму попарных произведений координат.
Простейшие свойства:
1) (x, y+z) = (x, y) + (x, z)
2) (x, ?y) = ??(x, y)
3) (x,0) = (0,x) = 0
4) (x, y) = 0 для любого y только тогда, когда x = 0.
5) любое подпространство евклидового (унитарного) пространство – также евклидово (унитарно)
Теорема (неравенство Коши-Буняковского)
Для любых векторов x, y из E(U), выполняется неравенство
|(x+y)|2 <= (x, x)(y, y)
Доказательство.
Пусть x – не 0. Тогда:
0 <= (ax – y, ax – y) = (ax, ax) – (ax, y) – (y, ax) + (y, y) = |a|2(x, x) – a(x, y) - ?a(y, x) + (y, y)
введем a = (y, x)/(x, x) и получим
|(y, x)|2/(x, x) – (y, x)(x, y)/(x, x) – (x, y)(y, x)/(x, x) + (y, y)
Домножаем на (x, x) и получаем, что хотели.
Теорема. Неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны.
доказательство – если x = 0 то равенство выполняется и векторы коллинеарны, если х не 0, то оно выполняется, если (ax – y, ax – y) = 0, то есть y = ax

Билет 6. Скал. произв-е в о/н базисе. Существование о/н базиса

Два вектора называются ортогональными, если (x, y) = 0. Только нулевой вектор ортогонален всем остальным
Пусть L – линейное подпространство евклидова (у) пространства. Вектор x ортогонален всему подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства.
Два подпространства называются ортогональными, если (x, y) = 0 для любых векторов x из L1 и y из L2
Сумма подпространств называется ортогональной, если её слагаемые попарно ортогональны.
Система векторов называется ортонормированной, если она содержит попарно ортоганальные векторы единичной длины.
Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Доказательство
Строим линейную комбинацию, поочередно умножаем скалярно на векторы системы и убеждаемся, что только тривиальная равна 0.
Следствие – в n мерном пространстве, ортонормированная система из n векторов образует базис.
Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным.
Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе e = (e1,e2..en) вычисляются по правилу xi = (x, ei) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.
Док-во. Необходимость. Пусть так и есть. Тогда вычислим координаты базисных векторов – получим единички.
Достаточность – раскладываем каждый вектор по базису, умножаем скалярно на ei – получаем координату.
Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов в базисе e = (e1,e2..en), заданных своими координатами, вычисляется по правилу (x, y) = сумма(xi*?yi) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.
Доказательство. Необходимость. Проверим на базисных векторах – получим единички в случае одинаковых векторов и нули в обратном случае, базис ортонормированный.
Достаточность. Раскладываем каждый вектор на сумму, дальше из линейности скалярного произведения выносим координаты и оставляем только произведения с одинаковыми базисными векторами.
Теорема. В конечномерном евклидовом (унитарном) пространстве существует о/н базис.
Док-во. Пусть dim V = n. Используем индукцию. При n = 1 – очевидно.
Пусть в любом (n-1) пространстве существует о/н базис. Покажем для n:
Пусть f1..fn – базис E, линейная оболочка L(f1..fn-1) – n-1 пространство, в нем по предположению есть о/н базис e1..en. Так как fn не принадлежит L(f1..fn-1)=L(e1..en-1), то gn = fn – a1e1 – a2e2…-an-1en-1, скалярно умножаем это всё на ei для каждого i, приравниваем к нулю и суем в систему. Нужный вектор en = gn/|gn| - получаем о/н базис пространства V.

Билет 7. Изометрия

Два евклидовых (унит) пространства V1 и V2 называются изометричными или евклидово изоморфными, если существует биективное отображение ф: V1 -> V2, которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение:
1) ф(x+y) = ф(x) + ф(y) для любых х, у из V1
2) ф(ax) = aф(x) – для любых а из Р, х из V1
3) (ф(х),ф(у)) = (х, у)
Само отображение зовется изоморфизмом
Теорема. Два евклидовых (унит) пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.
Док-во. Необходимость. вытекает из изоморфизма евклидовых(ун) пространств как линейных пространств.
Достаточность.
Выберем базисы, опять построим отображение, сохраняющее координаты в этих базисах. Это и будет нужный изоморфизм.

Билет 8. Матрица Грама. Критерий линейной зависимости.

Матрицей Грама системы векторов a1…ak называется матрица, i строками которой являются скалярные произведения (ai, a1) (ai, a2)… (ai, ak). Определитель этой матрицы называется определителем Грама.

Теорема. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда определитель Грама равен нулю.
Док-во. Рассмотрим вектор, являющийся линейной комбинацией векторов системы: y = ?1a1 + ?2a2..+?kak – равенство его нулю равносильно ортогональности каждому вектору оболочки, натянутой на векторы a1..ak – это равносильно ортогональности каждому вектору системы. Записываем эти условия в систему и получаем, что это выполняется тогда и только тогда, когда определитель матрицы нулевой.

Теорема. Матрица Грама системы векторов евклидова (ун) пространства эрмитова.
Док-во. Транспонируем, сопрягаем, получаем тож самое. Доказано.

Теорема. Определитель Грама линейно независимой системы векторов положителен.
Док-во.
Пусть а1..аk - лнз система векторов. Выберем ортонормированный базис е1..еk, составим матрицу координат а1..ak в этом базисе, матрица Грама равна (A'A)т, определитель матрицы Грама равен квадрату определителя матрицы А - то есть положителен.

Билет 9. Ортог. доп-е, сумма п/п-в, расстояние от вектора до п/п

Совокупность всех векторов х, ортогональных подпространству L называется ортогональным дополнением.
Теорема. Ортогональное дополнение к подпространству является линейным пространством.
Док-во. Проверяем аксиомы. Ноль есть, сумма векторов принадлежит дополнению, произведение на число тоже. Доказано.
Теорема. Если L - подпространство Е(U), то оно в прямой сумме с его ортогональным дополнением дает все пространство Е.
Доказательство.
Сначала, докажем, что базисы этих двух подпространств дают в совокупности базис Е:
Базис (о/н) L – e1..ek, базис его дополнения – ek+1..en. Предположим, что есть f, не являющийся лк этих всех векторов. Применим к нему процесс ортогонализации, получим en+1 – он ортогонален всем этим векторам, а значит входит в ортогональное дополнение, значит он нулевой!
Ну и так как пересечение двух подпространств нулевое, сумма прямая.
Следствие. Если задано линейное подпространство L, то для любого вектора существует единственное разложение на проекцию на L и перпендикуляр:
g – проекция, h – ортогональная составляющая.
Метрика.
Множество М называется метрическим пространством, если задано отображение р: M x M -> R, которое каждой упорядоченной паре элементов x, y из M ставит в соответствие число р(x, y) из R такое что
1) р(x, y) >=0 (p(x, y) = 0 <-> x=y)
2) p(x, y) = p(y, x)
3) p(x, z) <= p(x, y) + p(y, z)
число p называется расстоянием между х и у. Расстояние между множествами – наименьшее расстояние между элементами множетсв.
Теорема. В евклидовом (ун) пространстве, отображение p: V x V -> R
p(x, y) = |x-y| задает метрику.
Просто проверяем аксиомы.
Теорема. Расстояние между вектором и подпространством равно длине перпендикуляра, опущенного из вектора на подпространство.
Док-во.
пусть f = g+h, g из L, h из орт. дополнения, y – любой вектор из L. Тогда p(f, y)) = |f-y| = |g+h-y|=|h+(g-y)| = корень(|h|^2+|g-y|^2) – отсюда следует что минимальное расстояние равно |h|

10. Ортонормированный базис и унитарные (ортог) матрицы

Матрица U - ортогональная (унитарная матрица), если UUT=UTU = I (UUH = UHU = I)
Теорема. Матрица перехода от ортонормированного базиса к другому базису евклидового (ун) пространства ортогональна (унитарна)титтк конечный базис – ортогональный.
Док-во. аналогично старому, умножаем матрицу на вектора базиса, получаем условие ортогональности матрицы как то
Ну и теоремы с 6 билета
Теорема. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.
Доказательство
Строим линейную комбинацию, поочередно умножаем скалярно на векторы системы и убеждаемся, что только тривиальная равна 0.
Следствие – в n мерном пространстве, ортонормированная система из n векторов образует базис.
Базис, векторы которого образуют ортонормированную систему, называется ортонормированным.
Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве координаты вектора в базисе e = (e1,e2..en) вычисляются по правилу xi = (x, ei) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.
Док-во. Необходимость. Пусть так и есть. Тогда вычислим координаты базисных векторов – получим единички.
Достаточность – раскладываем каждый вектор по базису, умножаем скалярно на ei – получаем координату.

Теорема. В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов в базисе e = (e1,e2..en), заданных своими координатами, вычисляется по правилу (x, y) = сумма(xi*?yi) тогда и только тогда, когда e – ортонормированный.
Доказательство. Необходимость. Проверим на базисных векторах – получим единички в случае одинаковых векторов и нули в обратном случае, базис ортонормированный.
Достаточность. Раскладываем каждый вектор на сумму, дальше из линейности скалярного произведения выносим координаты и оставляем только произведения с одинаковыми базисными векторами.

Билет 11. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение

Процесс:
Первый шаг. Берем первый вектор, нормируем: e1 = f1/|f1|
k шаг. gk = fk –a1e1 – a2e2 - … - ak-1ek-1, ai = (fk, ei) – находим ek
Через n шагов получаем о/н базис

QR – разложение.
Процесс ортогонализации Грама-Шмидта эквивалентен умножению матрицы A с вектор – столбцами на треугольные матрицы Lk (они как единичные, только один столбец заполнен a1..ak до диагонали) – таким образом, AL1L2…Ln = Q или AL = Q или A = QR – это и есть разложение матрицы. При этом Q – ортогональная (унитарная), а R – верхняя треугольная.

Билет 12. Линейные многообразия и гиперплоскость.

Пусть H = x0 + L – линейное аффинное многообразие в евкл(ун) пространстве. Вектор а из H, ортогональный L, называется нормальным вектором лин. многообразия H.
Теорема. Для любого л. многообразия в евклидовом (унитарном) пространстве существует единственные нормальный вектор.
Док-во. Рассмотрим многообразие H = L + x0. Все векторы из H, ортогональные L, находятся в пересечении H и ортогонального дополнения L. Но это пересечение состоит из одного вектора, так как ортог доп-е к L – дополнительное подпространство к L (была теорема, что лин. многообразие имеет ток один общий вектор с дополнит. подпространтсвом к направляющему)
Теорема. Нормальный вектор совпадает с перпендикуляром, опущенным из любого вектора на напр. подпространство.
Док-во. нормальный вектор а принадлежит многообразию -> он может быть направляющим – получаем, что любой вектор многообразия можно разложить на a и еще какой то. Ну а так как a ортогонален L, то это и есть разложение на перпендикуляр и проекцию.
Следствие. Из всех векторов многообразия, нормальный имеет наименьшую длину.
Гиперплоскость.
Пусть H = x0 + L – гиперплоскость в E(U), т. е. dim L = n-1. Тогда ортог. доп-е к L – одномерное подпространство и его базис состоит из одного вектора a. Вектор x принадлежит H титтк x-x0 принадлежит L, то есть (x-x0,a) = 0
Таким образом, только векторы гиперплоскости H удовлетворяют данному уравнению. Также, можно записать это так: (x, a) = p, где p = (x0,a).

Билет 13. Линейные операторы и их матрицы.

Пусть V и W – линейные пространства над общим полем P. Отображение A: V -> W называется линейным отображением пространства V в пространство W, если для любых x, y из V и ? из P
выполняются аксиомы:
1) А(x+y) = Ax + Ay;
2) A(?x) =?Ax.
Это также называется линейным преобразованием, либо линейным оператором, действующим из пространства V в пространство W.
Если V = W – называется отображением в себя, либо линейным оператором, действующим в V.
Если W = P, то называется линейной формой или линейным функционалом в пространстве V.
Множество всех линейных операторов будем обозначать через L(V, W).
Операторы A и B равны, если для любого х из V, Ax = Bx
Примеры – оператор дифференцирования и оператор интегрирования (опр интеграл от нуля до х по заданной функции), оператор проектирования и отражения, нулевой и тождественный операторы.
Основные свойства.
1) Нулевой вектор переводится в нулевой – выносим 0 как параметр
2) Сохраняет линейные комбинации – из аксиом
3) Сохраняет линейную зависимость – из 2) и аксиом
Задание ЛО.
Находим действие оператора на каждый из векторов базиса V – из них уже можно составить любой другой вектор – по 2) свойству получаем:
Теорема. Пусть е1..еn – базис V и g1…gn – произвольные векторы W. Тогда есть только один линейный оператор A, переводящий векторы e в g соответственно.
Доказательство – представляем любой вектор х как линейную комбинацию векторов е – базиса V – оператор переведёт её в линейную комбинацию образов (единственную по определению), при этом выносим коэффициенты и получаем л. к. векторов g (из условия теоремы). Все аксиомы при этом выполняются.
Если есть еще какой то оператор, переводящий e в g – так же выносим коэффициенты при e за оператор, получив тож самое что и для нашего оператора.

Матрица ЛО.
Построение матрицы оператора:
e1…en – базис V, f1…fm – базис W. Из пред. теоремы, для задания оператора достаточно рассмотреть действие на базисных векторах. Получаем Aek = gk, k = 1..n (например). Полученные векторы g линейно выражаются через базис f. В итоге, получаем:
Aek = a1kf1 + a2kf2 + … amkfm, k = 1..n. Все эти a суем в матрицу и получаем:

Это матрица оператора A в базисе e и f. Обозначается (A)ef
Теорема. Пусть dimV = n, dimW = m. Тогда между операторами L(V, W) и матрицами n x m существует взаимно однозначное соответствие.
Док-во.
Фиксируем базисы, получаем однозначно определенную матрицу оператора в этих базисах.
1) отображение сюръективно, так как для каждой матрицы будет свой оператор.
2) инъективно так как у разных операторов будут разные матрицы.