Раздел 3. (15.04.2013).
Действия с матрицами
Excel обладает набором понятных и удобных процедур для работы с матрицами. Матрицей в математике называется таблица, заполненная числами.
Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами, например, К или К(m, n) (где m – количество строк, n – количество столбцов). Устное упражнение. Каковы особенности строения матрицы К, если m=n? m=n=1? m>n? m<n? m>1, n=1 ? n>1, m=1 ? Числа, у которых первый индекс равен второму (например, К1 1, К2 2, К3 3, и т. д.), образуют главную диагональ матрицы (вообще же говоря, у матрицы может быть целых четыре диагонали, так как диагональ может выходить из любого угла матрицы (под углом в 45о). Обычно, если говорят про диагональ матрицы (без уточнений, про какую именно), то имеют в виду главную.
По аналогии с числами, с матрицами можно выполнять (но с некоторыми ограничениями) три ОПЕРАЦИИ: сложение, вычитание и умножение, но операция деления не рассматривается, и для этого есть уважительная причина. <Если продвинутые студенты будут одолевать преподавателя вопросами, можно и сказать, какая это причина. Но лучше на это времени не терять>.
Сложение и вычитание матриц можно делать тогда, и только тогда, когда размеры и первой, и второй матрицы совпадают. Например, матрицы М(2, 3) и К(2, 3) можно сложить (и сложение делается поэлементно). А матрицы М(2, 3) и Р(3, 2) складывать (и вычитать) нельзя. Но зато их можно перемножить (и даже двумя разными способами). Об этом речь будет идти ниже.
В аудитории рекомендуется сделать образцово-показательное сложение двух матриц М(11, 13) и Р(11, 13). Элементы первой матрицы равны s*r (где s – номер строки элемента, r – номер столбца). Чтобы быстро и правильно заполнить матрицу М с помощью копирования, рекомендуется вернуться к концу предыдущего раздела («Общая методика заполнения исходных данных для построения графика поверхности»), так как там уже рассматривались таблицы из чисел (то есть матрицы), а также занесение формул в эти таблицы. Элементы второй матрицы равны s–10r, и заполняются они аналогично. После заполнения обеих матриц выбирается свободное место таблицы, где будет храниться сумма матриц, и в левый верхний угол этого выделенного места (которое рекомендуется разграфить на отдельные ячейки и закрасить неярким цветом) заносится сумма чисел в левом верхнем углу каждого из слагаемых-матриц. Путём копирования вправо и вниз эта формула «размножается» по всем остальным ячейкам матриц. Знаки доллара $ при этом использовать не нужно (но его надо было использовать при заполнении каждой из матриц!). Ниже для справок представлен результат сложения этих матриц.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | |
1 | -8 | -17 | -26 | -35 | -44 | -53 | -62 | -71 | -80 | -89 | -98 | -107 | -116 |
2 | -6 | -14 | -22 | -30 | -38 | -46 | -54 | -62 | -70 | -78 | -86 | -94 | -102 |
3 | -4 | -11 | -18 | -25 | -32 | -39 | -46 | -53 | -60 | -67 | -74 | -81 | -88 |
4 | -2 | -8 | -14 | -20 | -26 | -32 | -38 | -44 | -50 | -56 | -62 | -68 | -74 |
5 | 0 | -5 | -10 | -15 | -20 | -25 | -30 | -35 | -40 | -45 | -50 | -55 | -60 |
6 | 2 | -2 | -6 | -10 | -14 | -18 | -22 | -26 | -30 | -34 | -38 | -42 | -46 |
7 | 4 | 1 | -2 | -5 | -8 | -11 | -14 | -17 | -20 | -23 | -26 | -29 | -32 |
8 | 6 | 4 | 2 | 0 | -2 | -4 | -6 | -8 | -10 | -12 | -14 | -16 | -18 |
9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | -1 | -2 | -3 | -4 |
10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
В качестве небольшого упражнения можно построить поверхность, которой соответствует эта матрица (рис. 11). Её можно условно назвать «Ковёр-самолёт».
Рис. 11. «Ковёр-самолёт» (уравнение z = xy + (x–10y) ).
Рассмотрим, как выполняется средствами Excel транспонирование матриц (при котором первый столбец превращается в первую строку, второй столбец – во вторую строку, и так далее). АТ будет обозначать результат транспонирования матрицы А. Устные разминочные вопросы: 1) Может ли матрица, составленная из положительных различных чисел, отвечать условию: АТ = 2А?
2) Если совместить матрицу А (заполненную натуральными числами) с матрицей АТ таким образом, что их левые верхние углы совместились, и затем, если в совпавших ячейках совпали также и числа, то выкинуть их, то может ли на диагонали остаться невыкинутым ряд из семёрок? 3) Про какую диагональ идёт речь в предыдущем вопросе: диагональ матрицы А или диагональ матрицы АТ?
Как транспонировать матрицу в Excel.
Пусть матрица М(4, 7) заполнена (для примера) последовательными натуральными числами от 1 до 28, а её левый верхний угол находится в ячейке D6.
1 | 8 | 15 | 22 | |||||||
2 | 9 | 16 | 23 | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 3 | 10 | 17 | 24 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 4 | 11 | 18 | 25 |
15 | 16 | 17 | 18 | Щ | 20 | 21 | 5 | 12 | Щ | 26 |
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 6 | 13 | 20 | 27 |
7 | 14 | 21 | 28 |
Чтобы показать, что эта процедура может применяться и к элементам в виде чисел, и к элементам в виде букв, заменим число 19 на букву Щ. Выше изображены матрица М (закрашена жёлтым) и матрица МТ (закрашена зелёным). Пусть левый верхний угол МТ находится в ячейке L4. Выделяем мышью место для будущей транспонированной матрицы, для удобства разграфляем его и закрашиваем одним цветом. В левый верхний угол заносим формулу
=ТРАНСП(L6:O10)
(информация в скобках заносится с помощью движения мыши от левого верхнего угла до правого нижнего угла выделенного места). Нажимаем Enter, после чего в левом верхнем углу появляется временный сигнал, предупреждающий о возможной ошибке: #ЗНАЧ! Выделяем мышью место, выделенное для МТ и щёлкаем мышью на строке с формулой, отчего она из чёрно-белой становится цветной («оживление формулы»). Затем просим показать всё содержимое матрицы МТ, для чего нажимаем сразу ТРИ клавиши: Ctrl+Shift+Enter. Последние два действия являются стандартными и ещё встретятся нам ниже, при освоении умножения матриц и нахождения обратной матрицы.
Как известно, обратную матрицу можно найти только тогда, когда исходная матрица является квадратной, и притом невырожденной. Поэтому рассмотрим операцию нахождения определителя матрицы. (Если он не равен нулю, то квадратная матрица невырождена). Как и выше, заносим в любом месте исходную квадратную матрицу (для удобства разграфляя и закрашивая это место). В любую свободную ячейку Заносим формулу =МОПР(…), то есть Матрица ОПРеделитель. В скобках с помощью мыши указывается место расположения исходной матрицы. Далее нажимаем Enter. Для примера ниже вычислен определитель матрицы 9х9 с четырьмя «лопастями». Для матрицы 9х9 он равен -3, а для аналогичной по своей структуре матрицы 7х7 он равен нулю.
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Определитель = | -3 |
Можно задать студентам самостоятельное исследование: какой общей формулой выражаются все такие «четырёхлопастные» определители.
Умножение матриц
Пусть имеются две линейных функции (f, g) от трёх переменных (x, y, z), причём эти три переменные, в свою очередь, являются линейными функциями от четырёх переменных (r, s, t, u), а именно:
f = 4x + 7y –8z; g = 3x + 3y –z; (4)
x = 7r – t + 12 u; y = r+t–u; z = s–u. (5)
Коэффициенты, задающие функции в (4), можно свести в матрицу с двумя строками и тремя столбцами. Аналогично можно сформировать матрицу и для (5):
x | y | z | r | s | t | u | ||
f | 4 | 7 | -8 | x | 7 | 0 | -1 | 12 |
g | 3 | 3 | -1 | y | 1 | 0 | 1 | -1 |
z | 0 | 1 | 0 | -1 | ||||
Если мы сделаем подстановку формул (5) в строку (4) и приведём подобные члены, то получится сквозное линейное преобразование, позволяющее выразить (f, g) напрямую через (r, s, t, u). Его тоже можно представить в виде матрицы (с двумя строками и четырьмя столбцами):
r | s | t | u | |
f | 35 | -8 | 3 | 49 |
g | 24 | -1 | 0 | 34 |
Легко понять, по какому закону вычислены элементы итоговой матрицы. Они вычислены по правилу «каждую строку первой матрицы надо умножать на каждый столбец второй матрицы». Осталось понять, каким образом следует умножать строку на столбец. Речь идёт о скалярном произведении двух векторов, один из которых записан в виде строки, а другой – в виде столбца. Например, чтобы получить число 35, располагающееся в левом верхнем углу итоговой матрицы, надо вектор {4, 7, -8} скалярно умножить на вектор {7, 1, 0}. Для этого достаточно найти сумму попарных произведений координат этих векторов: 4*7+7*1–8*0 = 35. При этом очень важен тот факт, что ДЛИНА СТРОКИ первой матрицы равна ДЛИНЕ СТОЛБЦА второй матрицы. Иначе не удастся вычислить скалярное произведение.
Осталось только сообщить, что итоговая матрица, полученная нами таким способом, называется в математике ПРОИЗВЕДЕНИЕМ первой матрицы на вторую. Она позволяет выразить СЛОЖНУЮ ЛИНЕЙНУЮ ФУНКЦИЮ, полученную последовательным выполнением двух простых линейных функций. Теперь можно изложить умножение матриц АБСТРАКТНО, не опираясь на этот конкретный пример. (Этот пример поясняет, откуда взялось такое сложное определение умножения матриц).
Умножение двух матриц, расположенных в определённом порядке (например, сначала берем матрицу А, а затем матрицу В) можно выполнить в том, и только в том случае, когда длина строки первой матрицы равна длине столбца второй матрицы. Отсюда следует, что далеко не всякие две матрицы можно перемножать. Бывают даже такие случаи, что А на В умножить можно, а В на А – нельзя. Следовательно, для умножения матриц, вообще говоря, не справедлив переместительный закон «АВ = ВА». Более того, даже если можно умножить и А на В, и В на А, это ещё не значит, что размеры матрицы АВ равны размерам матрицы ВА. И даже если размеры АВ равны размерам ВА, вовсе не обязательно, что они состоят из одинаковых элементов! Так что с переместительным законом при умножении матриц придётся распрощаться безвозвратно. А из-за этого придётся распрощаться с таким термином, как «деление матриц». Вместо него (там, где это возможно) используют термин «обратная матрица».
Размеры матрицы АВ определяются по следующему правилу: количество строк наследуется от первого сомножителя, а количество столбцов – от второго. Ну, а когда размеры матрицы-произведения определены, каждый элемент произведения получается в результате применения правила «каждую строку первой матрицы умножать на каждый столбец второй матрицы».
Правило это очень нудное, и поэтому произведения матриц больших размеров вычисляются с помощью компьютера. Первый и второй сомножители (размеры которых позволяют сделать перемножение) заносятся на свободных участках Excel-таблице так, чтобы они не пересекались. При этом вовсе не обязательно, чтобы первый сомножитель располагался в таблице «левее» правого. Затем выбирают свободное место для записи произведения. Это место рекомендуется разграфить на отдельные ячейки и закрасить. Формула для перемножения матриц имеет вид =МУМНОЖ(… ; …). МУМНОЖ означает МатрицыУМНОЖить. Точки в скобках заполняются движением мыши, выделяющей СНАЧАЛА первую матрицу, а ПОТОМ вторую. После этого надо нажать клавишу Enter, и будет виден элемент в левом верхнем углу произведения. Чтобы увидеть и остальные элементы, можно выделить место, где решено хранить произведение матриц, «оживить» строку с формулой (щёлкнув мышью на этой строке), и затем нажать сразу три клавиши: Ctrl+Shift+Enter.
В качестве примера произведено нахождение квадрата матрицы А, в которой записаны единицы в виде прямоугольной спирали. Умножение произведено по формуле =МУМНОЖ(A1:I9;A1:I9).
8 | 3 | 6 | 5 | 5 | 4 | 7 | 2 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
7 | 3 | 6 | 5 | 5 | 4 | 7 | 2 | 7 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
4 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
6 | 3 | 6 | 5 | 5 | 4 | 6 | 2 | 6 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 3 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
8 | 3 | 6 | 5 | 5 | 4 | 7 | 2 | 8 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
8 | 3 | 6 | 5 | 5 | 4 | 7 | 2 | 9 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Матрица А*А | Матрица А | ||||||||||||||||
(спираль из единиц) |
Единичные и обратные матрицы.
Квадратная матрица, у которой по диагонали написаны единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной, потому что от умножения на неё матрицы А (имеющей нужные размеры) снова получается матрица А. Единичную матрицу обычно обозначают Е. При этом остаётся непонятным, какого она порядка. Для уточнения можно записать не Е, а Е3 (единичная матрица 3-го порядка). Надо также уточнить, в каком порядке происходит умножение Е3 на А: Е3 А или А Е3 . Если Е3 А = А, то Е3 называется «левой единичной матрицей для матрицы А». Если же А Е3 = А, то она называется «правой единичной для матрицы А».
Матрица Е3 будет левой единичной для тех, и только тех, матриц А, у которых количество строк равно трём. Матрица Е3 будет правой единичной для тех, и только тех, матриц А, у которых количество столбцов равно трём. Отсюда следует, что если матрица А не квадратная, то Е3 не может для неё быть одновременно и левой, и правой единичной матрицей. Если же она квадратная порядка m, то могут быть два случая: 1) m=3 (и тогда Е3 для неё будет одновременно и левой, и правой единичной; 2) m не равно 3 (и тогда Е3 для неё не будет ни левой, ни правой единичной). ПРИМЕР:
1 | 0 | 0 | 4 | 5 | 4 | 2 | 4 | 5 | 4 | 2 | |||
0 | 1 | 0 | * | 1 | 1 | 1 | 0 | = | 1 | 1 | 1 | 0 | |
0 | 0 | 1 | 3 | -2 | 3 | 1 | 3 | -2 | 3 | 1 | |||
4 | 5 | 4 | 2 | 1 | 0 | 0 | 0 | 4 | 5 | 4 | 2 | ||
1 | 1 | 1 | 0 | * | 0 | 1 | 0 | 0 | = | 1 | 1 | 1 | 0 |
3 | -2 | 3 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 3 | -2 | 3 | 1 | ||
0 | 0 | 0 | 1 | ||||||||||
В этом примере путём перемножения матриц показано, что квадратные матрицы с единицами на диагонали и нулевыми прочими элементами действительно имеют право называться квадратными, так как от умножения на них матрица А действительно не изменяется. В качестве А взята матрица 3х4, строки которой таковы: (4, 5, 4, 2), (1, 1, 1, 0), (3, -2, 3, 1). Матрица Е3 является для неё ЛЕВОЙ единичной, а матрица Е4 – ПРАВОЙ единичной.
Наиболее интересен случай, когда для А выполняются оба равенства: и ЕА = А, и АЕ = А. Чтобы такой случай имел место, А должна быть квадратной матрицей (например, порядка m). Ясно, что тогда в качестве Е надо брать именно Еm. <В учебниках линейной алгебры обычно делается оговорка, что будут рассматриваться только квадратные матрицы одного и того же порядка, и тогда «единичной» называется такая матрица Е, для которой при любой матрице А выполняются два равенства: ЕА = АЕ = А>.
После сказанного выше становится ясно, как дать определение ОБРАТНОЙ матрицы. Договоримся, что в этом пункте будут рассматриваться только квадратные матрицы одного и того же порядка. Матрица W называется обратной к заданной матрице А, если выполняются два равенства: WA = AW = E.
Обратная к А матрица обозначается А-1. Если матрица А – не только квадратная, но и невырожденная, то у неё существует обратная матрица (и притом только одна). Чтобы вычислить её в пакете Excel, следует применить команду
=МОБР(…), где МОБР означает МатрицаОБРатная, а в скобках указывается мышью, где находится исходная (невырожденная!) матрица.
