Оглавление

Оглавление

Логические операции над высказываниями        2

Логические выражения и таблица истинности        5

Для самостоятельного выполнения        9

Логические операции над высказываниями

1. Отрицание.

Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».

Определение. Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказывание x истинно.

Отрицание высказывания x обозначается и читается не x. Логические значения высказывания модно описать с помощью таблицы, которая называется таблицей истинности:

x
1	0
0	1

Пусть x высказывание. Так как тоже высказывание, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое является двойным отрицанием высказывания x. Логические значения высказываний и xсовпадают.

2. Дизъюнкция (логическое сложение).

Эта логическая операция соответствует союзу «или».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и ложным, если они оба ложны.

Дизъюнкция высказываний x, y обозначается xy и читается «x или y». Логические значения дизъюнкции описываются таблицей истинности:

x	y	xy
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Высказывания x, y называются членами дизъюнкции.

Пример.

x – «5>3», y – «2>4». Тогда xy – «5>3»«2>4» истинно, так как истинно высказывание x.

В алгебре логики союз «или» всегда употребляется в неисключающем смысле. Из определения дизъюнкции и отрицания следует, что высказывание x всегда истинно.

3. Конъюнкция.

Эта логическая операция соответствует союзу «и».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и ложным, если хотя бы одно из них ложно.

Конъюнкция высказываний x, y обозначается и читается «x и y». Высказывания x, y называются членами конъюнкции. Логические значения конъюнкции описываются следующей таблицей истинности:

x	y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Пример.

x – «6 делится на 2», y – «6 делится на 3». Тогда – «6 делится на 2»«6 делится на 3» истинно.

Из определения операции конъюнкции видно, что союз «и» в алгебре логики употребляется в том же смысле, что и в повседневной речи. Но в обычной речи не принято соединять союзом «и» два высказывания, далеких друг от друга по содержанию, а в алгебре логики рассматривается конъюнкция двух любых высказываний.

Из определения операций конъюнкции и отрицания следует, что высказывание всегда ложно.

4. Импликация.

Эта логическая операция соответствует словам «если…,то…».

Определение. Импликацией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается ложным, если x истинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.

Импликация высказываний обозначается x>y и читается «если x, то y» или «из x следует y». Высказывание x называется условием или посылкой, а высказывание y – следствием или заключением. Высказывание x>y называется следованием или импликацией. Логические значения операции импликации описываются следующей таблицей истинности:

x	y	x>y
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Пример.

1) x – «12 делится на 6», y – «12 делится на 3». Тогда импликация x>y – «если 12 делится на 6, то оно делится на 3» истинна, так как истинна посылка x, и истинно заключение y.

2) x – «12 делится на 2 и 3», y – «12 делится на 7». Тогда импликация x>y – «если 12 делится на 2 и 3, то оно делится на 7» ложна, так как условие истинно, а заключение ложно.

Употребление слов «если…,то…» в алгебре логики отличается от употребления их в обыденной речи, когда, как правило, считается, что если высказывание x ложно, то высказывание «если x, то y» вообще не имеет смысла. Кроме того, строя предложение «если x, то y» в обыденной речи всегда подразумевается, что предложение y вытекает из предложения x. Употребление слов «если…, то…» в математической логике не требует этого, так как в ней смысл высказываний не рассматривается.

Импликация играет важную роль в математических доказательствах, так как многие теоремы формулируются в условной форме «если x, то y». Если при этом известно, что x истинно и доказана истинность импликации x>y то истинно и заключение y. В этом случае пишут xy и говорят, что из x следует y. Это классическое правило вывода постоянно используется в математике.

1. Эквиваленция.

Эта логическая операция соответствует словам «тогда и только тогда, когда».

Определение. Эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.

Эквиваленция высказываний x, y обозначается символом x-y и читается «для того чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y». Логические значения операции эквиваленции описываютсяследующей таблицей истинности:

x	y	x-y
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Высказывания x, y называются членами эквиваленции.

Логические выражения и таблица истинности

Таблица истинности - таблица, показывающая, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение - составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения таблицы истинности:

1. подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n - количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1. разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2. разделить колонку значений второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3. продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т. д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы A/\ (B \/ B /\C) постройте таблицу истинности.

Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк - 23 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов - 3 + 5 = 8.

Пример 2. Определите истинность логического выражения F(А, В) = (А\/ В)/\(А\/В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2. mстрок=2n, m=22=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) А; 3) В; 4) А\/В; 5) (А\/ В)/\(А\/В).

5. Кстолбцов=n+5=2+5=7 столбцов.

А	В	А\/ В	А	В	А\/В	F
0	0	0	1	1	1	0
0	1	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	0	0	0

Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ С

В данной функции три логические переменные – А, В, С количество строк таблицы = 23 =8 В формуле 3 логические операции. Расставляем порядок действий

1) А\/ В; 2) С; 3) (AVB) /\ С.

количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А	В	С	A\/B	С	(A\/B) /\ С
0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1
1	0	1	1	0	0
1	1	0	1	1	1
1	1	1	1	0	0

Пример 4. Определите истинность формулы: F = ((С \/В) => В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1

Какое выражение соответствует F?

1) X/\Y/\Z 2) X\/Y\/Z 3) X\/Y\/Z 4) X\/Y\/Z

Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X	Y	Z	F	X	Y	Z	X/\Y/\Z	X\/Y\/Z	X\/Y\/Z	X\/Y\/Z
0	0	0	1	1	1	1	0	1	1	0
0	0	1	0	1	1	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	0	1	0	1	1	1

Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т. е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

Рассмотрим данный конкретный пример:

1) первое заданное выражение X/\Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2) второе заданное выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы;

3) третье выражение X\/Y\/Z соответствует F при всех предложенных комбинациях X, Y и Z;

4) четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

Для самостоятельного выполнения

Построить таблицу истинности для выражения F= (AVB) & (AVB) XVY& Z. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y,Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	1

Какое выражение соответствует F

X /\ Y /\ Z X V Y V Z X V Y VZ X V Y V Z Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y,Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
1	0	0	1
0	0	0	1
1	1	1	0

Какое выражение соответствует F?

X /\Y /\Z X /\ Y /\ Z X V Y V Z X VY VZ