УДК 519.71
В. А.ЧЕКАНОВ
(, Электросталь)
В. Н.ЧЕСТНОВ 1
(ИПУ РАН, Москва)
Радиус запасов устойчивости l1-оптимальных регуляторов по выходу
В данной работе исследуется радиус запасов устойчивости минимально-фазовых дискретных систем с l1- регуляторами по выходу. Исследование осуществляется не только на конкретных примерах, но и в общем случае, что помогает понять природу плохой робастности таких систем. Отмечается физическая неустойчивость систем с l1–оптимальным регулятором.
Введение
Во многих случаях какая-либо информация о характере возмущений отсутствует, известно лишь то, что они являются ограниченными. В таком случае требуется выбрать закон управления, который давал бы минимально возможное отклонение регулируемой переменной при произвольном ограниченном возмущении.
Задача об оптимальном подавлении произвольных ограниченных возмущений получила название l1-оптимизации.
l1-регуляторы заставляют работать систему на пределе своих возможностей и могут выводить замкнутую систему к границе устойчивости. Предлагаемый доклад посвящен рассмотрению радиуса запасов устойчивости минимально-фазовых систем с l1-регуляторамипо выходу и исследованию физической реализуемости закона управления (учитывается задержка в один такт, вносимая ЭВМ).
Исследование l1-оптимальных регуляторов по выходу
Рассмотрим дискретный объект управления
(1)
где 
– измеряемая выходная переменная объекта;
– внешнее возмущение;
– управление;
k – номер такта, дискретная величина.
– оператор обратного временного сдвига
Уравнение регулятора имеет вид
(2)
Тогда уравнение замкнутой системы будет иметь следующий вид
(3)
Постановка задачи
Задача построить регулятор такой, что
а) характеристический полином замкнутой системы
(4)
устойчив, все его корни относительно 
– вне единичного круга
б) для всех внешних возмущений 
Решение задачи
Если объект минимально-фазовый, то 
устойчив, т. е. имеет корни относительно 
вне единичного круга.
Такой регулятор единственный и легко считается
(5)
Найдем характеристический полином замкнутой системы
(6)
Характеристический полином замкнутой системы устойчив.
Произошло сокращение в старших степенях оператора z-1обратного временного сдвига.
Запасы устойчивости
В непрерывном случае сокращение коэффициентов при старших степенях приводит к нулевым запасам устойчивости.
Рассмотрим запасы устойчивости в дискретных системах
Построим передаточную функцию разомкнутой системы
(7)
Радиус запасов устойчивости r:
(8)
(9)
Рис 1. Геометрическая интерпретация радиуса запасов устойчивости
Начало годографа 
(10)
Если сумма коэффициентов полинома a(z-1) велика, то годограф Найквиста весьма близко начинается от критической точки (-1;j0), радиус запасов устойчивости близок к нулю
Численный пример.
Построим l1-регулятор для непрерывного минимально-фазового объекта вида:
(11)
Преобразуем объект в дискретную форму с периодом дискретности Т=0.1с с помощью стандартной процедуры MATLAB c2d
(12)
В физически реализуемой форме
(13)
Тогда регулятор будет иметь вид
(14)
На рис. 2 показана структурная схема объекта с регулятором, выполненная в MATLAB
Рис. 2. Структурная схема объекта с регулятором в MATLAB
На рис. 3 и рис. 4 показаны переходные процессы по регулируемой переменной, на рис. 5 показан переходный процесс по управлению при подаче на вход ступеньки с амплитудой 1.
Рис.5 Переходный процесс по управлению
На рис. 6 и рис. 7 показаны переходные процессы по регулируемой переменной, на рис. 8 показан переходный процесс по управлению при подаче на вход sin(2?t).
Установившееся значение регулируемой переменной
(15)
На рисунках переходных процессов по регулируемой переменной видно, что регулируемая переменная отстает от возмущения на 2 такта. Это произошло из-за того, что брался непрерывный объект.
Построение годографа разомкнутой системы в MATLAB
На рис. 9 показана структурная схема разомкнутой системы в MATLAB.
Рис 9. Структурная схема разомкнутой системы в MATLAB
На рис. 10 показан годограф разомкнутой системы по выходу объекта.
Рис 10. Годограф разомкнутой системы по выходу объекта
Физическая реализуемость
Полученный регулятор физически нереализуем, так как управление в k-тый момент времени зависит от значения регулируемой переменной в k-тый момент времени. Для физической реализации введем задержку в один такт, вносимый ЭВМ при реализации l1 закона управления
Рис. 11. Структурная схема объекта с регулятором при наличии задержки в MATLAB
На рис. 12 показан результат моделирования объекта с получившимся регулятором. При введении задержки система потеряла устойчивость.
Рис. 12. Переходный процесс по регулируемой переменной y
Заключение
В работе был построен l1-регулятор по выходу для колебательного звена.
Показано, что значение у(k) повторяет возмущение w(k) с некоторым запаздыванием
Построен годограф разомкнутой системы и показано, что запасы устойчивости системы невелики.
Показана физическая нереализуемость данной системы (при введении задержки система потеряла устойчивость).
Литература
Решение задач оптимального управления для линейных дискретных систем // АиТ 1975. №9. С. 73-79 , Оптимальный регулятор для линейных объектов с ограниченным шумом // АиТ, 1984. №5. С. 39-46. Синтез минимаксных регуляторов СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996 DahlehM.,Pearson J. B. l1 optimal feedback controllers for MIMO discrete system // IEEE Trans. Autom. Control 1987.V.32, No. 4. P.314-322 Видьясагар М Optimal rejection of persistent bounded disturbances// IEEE Trans. Autom. Control 1986. V. 31. P.527-535.
Текст доклада согласован с научным руководителем.
