Лекция 3.
Тема: «Обобщение понятия степени».
Цель урока:
Знать определение корня n-ой степени из числа а, степени числа а (а
с рациональным показателем, свойства корня n-ой степени из числа а с рациональным показателем.
Уметь доказывать первые пять свойств степеней с рациональным показателем, применяя определение корня и арифметического корня n-ой степени из числа а для простейших вычислений. Представлять арифметический корень n-ой степени из числа а в виде степени с рациональным показателем, степени с дробным показателем в виде степени с рациональным показателем для нахождения числовых выражений, выполняя тождественные преобразования, содержащих степени с рациональным показателем, решать простейшие иррациональные уравнения.
Корень n-ой степени и его свойства.
.
:
Корнем n-ой степени из числа а называется такое число, n-ая степень которого равна а.
.
.
.
мы решаем уравнение вида 
Число корней зависит от а и n. Для а
, функция возрастает при любом n один корень, причем корень положительный, его называют арифметический корень n-ой степени из числа а. Обозначают 
, n - показатель корня, а – подкоренное выражение, знак 
- радикал.
:
Арифметическим корнем n-ой степени из числа а называется неотрицательное число, n-ая степень которого равна а.
.
;
.
а
а
х 0
а
а
Решение уравнения.
n-четное | n-нечетное | ||
а | решение | а | решение |
а а=0 а | Х=- Х=0 Решений нет. | а а=0 а |
Х=0 |
При нечетном n существует корень n-ой степени из любого числа и притом только один 
.
Доказательство: 
.
Замечание 1.
.
Замечание 2.
.
Примеры: решите уравнение.
а) 
х=-
;
б) 
;
Основные свойства корней:
Если n
; 
, в
; 
, к
; 
, к
; 
., если к
; Для любого а ив, таких, что 0
, выполняется неравенство 
Доказательство первого свойства:
.
По определению 
это такое неотрицательное число, n-ая степень которого равна ав. Число 
не отрицательное, 
. Аналогично доказываются остальные свойства.
2.Иррациональные уравнения.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называется иррациональным.
Разобрать решение всех уравнений учебника стр.214-216.
3.Степень с рациональным показателем.
Целые показатели | Рациональные показатели |
    (      (      (     m   |     (      (    Пусть r-рациональное число и 0   при r 
 
|
при 0
при r
.
,
0
.Определение:
Степенью числа а
r=
, где m
. 
.
Замечание 1.
Из определения следует : для любого а и для любого рац. числа r 
Замечание 2.
Рациональное число отличается записью его в виде дроби 
.
Значение 
не зависит от формы записи рационального числа r 
=
Замечание 3.
рациональная степень числа а не определяется.
Если бы мы сочли верным равенство 
и для 
, то 
=-4.
r=
, -4=
= 
=4,это не верно.
Доказательство первого свойства:
.
, n, q
.
=
=
=
=
= 
.
4 .Опорные задания.
Решите уравнение:
А) 
, 
.
Б) 
, 
х=
и х =
.
В) 16
, 
=
, 
, 
.
Г) 
, х=
, х=-0,216.
Д)
.
Е) 
.
Ж) 
.
З) 
.
И) 
=
.
Сравните числа:
А)
.
Вынести множитель из-под знака корня:
2ав
.
Внести множитель под знак корня:
-в
.
Освободиться от иррациональности в знаменатели:
.
