Прохождение гомоцентричного пучка света через плоскопараллельную пластинку

Прохождение гомоцентричного пучка света через плоскопараллельную пластинку.

ПП пластинка с коэффициентом преломления, отличным от показателя преломления среды, не изменяет направление луча, она лишь смещает его параллельно самому себе. Если на пластинку падает гомоцентричный пучок лучей, то при небольших углах падения – ?, если tg (?)?sin(?), гомоцентричность сохраняется. Однако кажущийся центр пучка смещается вдоль оси пучка. В случае сходящегося пучка его центр удаляется от пластинки на расстояние ?, а, в случае расходящегося пучка – приближается к пластинке на то же расстояние.

Вычислим величину ? согласно рисунку.

?=АО’-AO=d+CD*ctg(?)-AB*ctg(?)=d-(AB-CD) *ctg(?)

AB-CD=d*tg(?)

Подставим AB-CD в формулу для ?:

?=d - d*tg(?) ctg(?)=d(1- tg(?)/tg(?)) Для малых углов отношение тангенсов заменяется отношением синусов, а отношение синусов – относительным показателем преломления – n. В результате получим.

Исходные данные варианта приведены в таблице, а расположение элементов на рисунке 2.

R1,

R2,

R3,

R4,

см

a1,

см

a2,

см

Тип билинзы

мм

нм

0,25

0,55

0,65

0,85

8,5

6,5

4,5

6б

0,25

490

Решение:

Найти фокусные расстояния и оптические силы линз Вашей оптической системы

Фокусные расстояния f1=1/D=0.273 м

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Для линзы 3

Фокусные расстояния f3=1/D=-0.578 м.

Пункт 1 выполнен.

Найти положение изображения источника.

Источник света находится на расстоянии 65 см от первой линзы, у которой фокусное расстояние f=23.7 см. Поскольку предмет находится на расстоянии, превышающем двойное фокусное расстояние собирающей линзы, изображение будет действительным перевернутым и уменьшенным. Расходящийся пучок света от источника после прохождения первой линзы станет сходящимся. Поместим начало координат в центр первой линзы. Координата источника xs=-0.65 м. Если пока не учитывать действие плоскопараллельной пластинки, то координата изображения источника – xs’, даваемого первой линзой определится из формулы линзы:

Откуда:

Плоскопараллельная пластинка, получая сходящийся пучок лучей, отдалит точку схождения пучка на расстояние

В результате координата изображения источника, даваемого первой линзой и пластинкой, будет равна:

Перенесем начало координат в центр второй линзы и будем считать изображение источника первой линзой предметом для второй линзы. Для различения систем координат для первой и второй линз обозначим координаты для второй линзы буквой z. Тогда координата предмета для второй линзы будет равна:

Координата изображения, даваемого второй линзой, определится формулой (6) с заменой обозначений. Учтем также, что вторая линза – рассеивающая и ее фокусное расстояние отрицательною

Изображение получается справа от второй линзы, т. е является действительным.

Пункт 2 выполнен.

Определить увеличение, даваемое системой линз

Увлечение, даваемое системой линз, равно произведению увеличений, даваемых каждой из линз системы: Г=Г1*Г2

Формула для поперечного увеличения одиночной линзы:

Где f – фокусное расстояние линзы, xs – координата предмета.

Изображение в первой линзе получается уменьшенным, перевернутым

Хоть линза и рассеивающая, но изображение дает действительное, увеличенное, не перевернутое.

Общее увеличение системы из двух линз:

Г=Г1*Г2=-5.58

Изображение действительное перевернутое, увеличенное.

Пункт 3 выполнен.

В системе оставляют одну собирающую линзу (если их в системе две, то любую по Вашему выбору). Из этой линзы делают билинзу Бийе путем распиливания по диаметру на две половины и: сдвиганием или раздвиганием частей симметрично относительно оси на расстояние ?. Два возможных варианта билинзы показаны на рисунке.

Источник монохроматического света с длиной волны ? находится на оси симметрии билинзы. Задавая самостоятельно расстояние от источника до билинзы и расстояние от билинзы до экрана, перпендикулярного оси симметрии, найти ширину интерференционных полос на экране и количество полос на экране.

Положение источника света необходимо задать так, чтобы световые потоки от него после прохождения верхней и нижней полулинз затем пересекались. Для этого при использовании раздвижной билинзы источник должен находится от линзы дальше ее фокальной плоскости, а в случае сдвижной билинзы - ближе.

На рисунке 4 показаны области пересечения световых потоков в обоих случаях. Эта область заключена между лучами, проходящими от источника через оптические центры полулинз (точки О1, О2). В случае раздыижной билинзы эти центры находятся на линии разреза, в случае сдвижной билинзы оптические центры сошлифованы и являются воображаемыми.

Для расчета ширины интерференционных полос можно полагать, что свет исходит из двух вторичных когерентных источников S1 и S2. В случае раздвижной билинзы эти источники являются действительными изображениями, которые дают половинки билинзы, а в случае сдвижной изображения источника являются мнимыми.

В приводимом примере заданный вариант билинзы Бийе является сдвижным, т. е. после разрезания линзы по диаметру часть стекла по разрезу сошлифовывается и полученные полулинзы соединяются, как показано на рисунке 3. В качстве источника света используется освещенная щель, параллельная разрезу.

Найти количество полос на экране, определяемое геометрией, системы

Для расчета ширины интерференционных полос сведем схему с билинзой к схеме Юнга. Для этого вычислим расстояние между изображениями источника света, давемыми половинками билинзы. Воспользуемся формулой линзы:

Мы полагаем расстояния a и b положительными. Поскольку в формуле линзы фигурируют координаты предмета и изображения, которые слева от линзы отрицательны, в формулу расстояния подставлены со знаком минус. Если источник находится в фокальной плоскости билинзы, то мнимые изображения его оказываются в бесконечности (b=?).

Расстояние между изображениями источника – d найдем из подобия треугольников S1S2S и O1O2S:

Зададим произвольно расстояние l между экраном и линзой. Ширина полос определится формулой для схемы Юнга:

Формула для ширины полосы становится очень простой, если источник расположить в фокальной плоскости билинзы, т. е. взять, а=f1. В этом случае

Т. е. ширина полосы не зависит от расстояния между линзой и экраном. Это естественно, поскольку когерентные источники света находятся в бесконечности, а лучи от них параллельны оси симметрии и перпендикулярны экрану.

Ширина области перекрытия интерферирующих потоков на экране - |MK| определится из подобия треугольников SMK и SO2O1:

Отношение |MK|/?х дает число интерференционных полос:

Вместо оптической силы D1 использовано фокусное расстояние f`1=1/D1. Эта формула записана таким образом, что первый сомножитель (перед квадратной скобкой) состоит только из заданных в условии величин, а второй множитель зависит от величин l и a, которые можно задать самостоятельно. В частном случае, когда a=f1, т. е. aD1=1, будем иметь:

Зададим, наконец, расстояния от билинзы до источника a=f1=0.273 м и расстояние от билинзы до экрана l=9a=2.457 м. Такой выбор расстояний позволить вычислить ширину полосы и число полос по простым формулам (16) и (19). После подстановки числовых данных получим:

Т. Е. на экране буде т видна центральная полоса и еще по две полосы с двух сторон (всего 5 штук).

Задание 5 выполнено.

На систему из двух длинных прямоугольных щелей, показанных на рис. 5, падает нормально свет с длиной волны ?. Пусть I0' – интенсивность света, наблюдаемого в направлении первоначального распространения в отсутствие среднего непрозрачного промежутка шириной b1. Найти отношение интенсивности света, наблюдаемого в направлении, определяемом углом ?, к I0'. При ?<0 угол откладывается от вертикали по часовой стрелке.

Будем использовать метод суммирования колебаний с помощью суммирования векторов, изображающих колебания. Если световой поток падает перпендикулярно на узкую щель, то во всех точках щели фаза световых колебаний одинакова.

При суммировании векторов колебаний, переносимых волнами, идущими в первоначальном направлении, все векторы оказываются направлены одинаково и в сумме дают вектор того же направления, как показано на рисунке 9

Если рассматривать волны, распространяющиеся под углом ? по отношению к первоначальному направлению, то появляется разность хода между волнами от соседних элементов щели и векторная сумма закручивается в дугу окружности, показанную на рисунке 10. Угол, на который закручивается дуга, равен разности фаз волн от крайних элементов щели. Эта разность фаз выражается формулой

Где d – ширина щели. При этом угол ? который составляет вектор суммы с горизонтальной осью, оказывается равным ?/2. Длина дуги, представляющей векторную сумму остается неизменной и равной длине отрезка векторной суммы при ?=0. Нам задана интенсивность света, проходящего в направлении ?=0, при величине щели, равной a+b+c (см. рисунок 2). Так как интенсивность – это квадрат амплитуды можно определить амплитуду волны, идущей в направлении ?=0.

Величина А0 будет равна длине дуги на которой происходит суммирование векторов колебаний.

Если какая-то часть щели перекрыта, то из векторной суммы исключается соответствующая часть дуги.

Величина А0 будет равна длине дуги на которой происходит суммирование векторов колебаний.

Если какая-то часть щели перекрыта, то из векторной суммы исключается соответствующая часть дуги.

Суммарный вектор колебаний, переносимых волнами от первой щели, определится в виде хорды дуги с радиусом – r и углом ?1. Процесс суммирования показан на рисунке 11. Сразу же вычислим горизонтальную и вертикальную суммарного вектора колебаний от первой щели

На первом открытом и перекрытом участке щели –b создается разность фаз

Вторая щель, с шириной – с, открывает путь волнам, которые несут колебания, соответствующие дуге в интервале углов от ?2=6.02 рад. До ?=9.86 рад. Суммирование колебаний этой дуги показано на рисунке 12. Вычислим координаты начально и конечной точки суммарного вектора.

Горизонтальная и вертикальная составляющие суммарного вектора будут равны:

Векторы колебаний, переносимых волнами от каждой щели в направлении угла ? определены. Теперь очень просто вычислить координаты суммарного вектора:

Квадрат модуля этого вектора определяет амплитуду суммарной волны, идущей в направлении угла ?.

Но r2=I0’/?2, следовательно

Пункт 6 выполнен

7. Пусть I0'' – интенсивность света, наблюдаемого в направлении первоначального распространения при наличии среднего непрозрачного промежутка шириной b. Найти отношение интенсивности света, наблюдаемого в этом случае в направлении угла ?, к I0'

Для нахождения интенсивности I’’ необходимо из общей суммы векторов колебаний удалить векторы, приходящиеся на непрозрачную перегородку b. В результате длина суммарного вектора умножится на отношение ширины пропускающих щелей к общей ширине преграды (a+c)/(a+b+c). Поскольку интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, можем записать:

Искомое отношение будет равно

Пункт 7 выполнен.

На дифракционную решетку, содержащую n1 штрихов на 1мм длины, падает нормально свет с длиной волны ?. Расстояние от решетки до экрана L. Найти общее число наблюдаемых максимумов и расстояние от центрального максимума до последнего наблюдаемого. Пусть на решетку падает белый свет с длинами волн в интервале (450?700) нм. Найти длину спектра второго порядка. Начиная со спектров каких порядков наблюдается их перекрытие?

Положение главных максимумов при дифракции на решетке определяется формулой d*sin(?)=k?, в которой d-период решетки, k – целое число – порядок главного максимума. Полагая ?=?/2, определим максимально возможный порядок

(Функция int(х) – взятие от дроби только целой части.)

Общее число видимых на экране главных максимумов, включая центральный будет равно 9. Четыре по обе стороны от центрального - нулевого.

Найдем угол направления на последний главный максимум

Следовательно, ?max=0.95 рад. (46.6о)

Расстояние от центрального до четвертого максимума определится из чертежа, показанного на рисунке 13

l=L*tg(?max)=1.82 м

Предположим, что решетка освещается белым светом, ?min=450 нм, , ?max=700 нм. Тогда максимум второго порядка для фиолетовых лучей будет под углом ?1, который определится уравнением:

Максимум второго порядка для красных лучей удовлетворяет такому же уравнению:

Из этих уравнений найдем

sin(?ф)=2*?min/d=0.306 => ?ф=0.37 рад

sin(?кр)=2*?max/d=0.47 => ?кр=0.49 рад

Теперь определим расстояние на экране между максимумами для красных и фиолетовых лучей, это будет протяженностью спектра второго порядка

?l=L(tg(?кр) – tg(?ф))=0.189 м.

Дифракционная решетка отклоняет красные лучи сильнее, чем фиолетовые. Поэтому красная часть спектра k-того порядка может наложиться на фиолетовую часть k+1 порядка. В качестве условия такого наложения возьмем равенство синусов углов отклонения:

sin(?ф)=(k+1)*?min/d = sin(?кр)=k*?max/d

Из этого равенства получим

(k+1)*?min = k*?max => 1+1/k=1.5555 => k=1.8

Это означает, что красная часть спектра второго порядка наложится на фиолетовую часть спектра третьего порядка.

Пункт 8 выполнен.

9. Проектируем электролампочку с вольфрамовой нитью накала. Возьмем следующие исходные данные=200 Вт, k=0.5, U=220 B, T=2400 K.

Излучаемая мощность равна поглощаемой электрической мощности. По закону Стефана – Больцмана запишем::

Где S – площадь боковой поверхности нити накала. Если l – длина нити, d – ее диаметр, то

И после подстановки площади получим:

Электрическое сопротивление нити накала выражается через длину нити и площадь ее поперечного сечения, которая равна ?d2/4:

Где ? – удельное сопротивление вольфрама, которое зависит от температуры. Данная зависимость является линейной и выражается следующей формулой:

Громоздкость этой формулы обусловлена тем, что в справочниках приводится удельное сопротивление металлов при температуре 20оС, в то время как нам необходима зависимость удельного сопротивления от абсолютной температуры (в Кельвинах). Можно немного преобразовать формулу, используя известное значение температурного коэффициента для вольфрама: ?=4.8*10-3 1/К: