2 Вентили

Кроме схемных элементов, соответствующих перечисленным логическим операторам, в состав логических схем входят комбинированные связки, именуемые вентилями, например следующие. Схема И— НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И (табл. 13). Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как х&у, или «ИНВЕРСИЯ х И у». Условное обозначение на структурных схемах схемы И—НЕ с двумя входами представлено на рис. 2, г.

Таблица 13 - Таблица истинности схемы И—НЕ

x

y

х&у

false

false

true

false

true

true

true

false

true

true

true

false

Схема ИЛИ—НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляется отрицание результата схемы ИЛИ (табл. 14). Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают как х v у, или ВЕРСИЯ х ИЛИ у». Условное обозначение на структурных схемах схемы ИЛИ—НЕ с двумя входами представлено на рис. 1, д.

Таблица 14 - Таблица истинности схемы ИЛИ—НЕ

X

У

x v у

false

false

true

false

true

false

true

false

false

true

true

false

Схема «ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ» (рис. 2, е) соответствует «сложению по модулю два».

Кроме операций И, ИЛИ, НЕ в алгебре высказываний существует ряд других операций. Например, операция эквиваленции (эквивалентности) А~В (или А = В, A EQV В) (табл. 15).

Таблица 15 -  Таблица истинности операции эквивалентности

А

В

A~B

false

false

true

false

true

false

true

false

false

true

true

true

Другим примером может служить логическая операция импликации или логического следования (АВ, А IMP В), иначе говоря, «ЕСЛИ А, то В» (табл. 16).

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Таблица 16 -  Таблица истинности импликации

A

В

АВ

false

false

true

false

true

true

true

false

false

true

true

true

Высказывания, образованные с помощью логических операций, называются сложными. Истинность сложных высказываний можно установить, используя таблицы истинности. Например, истинность сложного высказывания А&В определяется табл.17.

Таблица 17 - Таблица истинности высказывания А & В

A

В

В

&B

false

false

true

true

true

false

true

true

false

false

true

false

false

true

false

true

true

false

false

false

Высказывания, у которых таблицы истинности совпадают, называются равносильными. Для обозначения равносильных высказываний используют знак «=» (А=В). Рассмотрим сложное высказывание (А & В)|(В & В) - табл. 18.

Таблица 18 - Таблица истинности выражения (А& В)|(В &В)

A

B

А& В

В &В

(А& В)|(В &В)

false

false

true

true

false

true

true

false

true

true

false

false

false

false

true

false

false

true

false

false

false

true

true

false

false

true

false

true

Если сравнить эту таблицу с таблицей истинности операции эквивалентности высказываний А и В, то можно увидеть, что высказывания  (А&В)|(В&В)  и  А~В  тождественны,  т.  е.  А~В = (А& В)|(В &В)

В алгебре высказываний можно проводить тождественные преобразования, заменяя одни высказывания равносильными им другими высказываниями.

3 Свойства операций

Исходя из определений дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, устанавливаются свойства этих операций и взаимные распределительные свойства. Коммутативность (перестановочность):

А^В = В^А, AvВ = BvA

Закон идемпотентности: А&A=A,  AvA=A.

Двойное отрицание: =А

Сочетательные (ассоциативные) законы:  Av(BvC)=(AvB)vC=AvBvC, A^(B^C)=(A^B)^C=A^B^C

Распределительные (дистрибутивные) законы: A^(BvC) = (A^B)v(A^C), Av(B^C)=(AvB)^(AvC)

Поглощение: х v (х ^y) = х,  х ^ (x v у) = х

Склеивание: (x^y)v (

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10