6 Динамика тела (системы тел) при моментальном изменений связей
1 (РСФСР, 1983, 7 баллов). Четыре шарика (материальные точки) с массами m закреплены в вершинах невесомой квадратной пластинки со сторонами a, лежащей на горизонтальной гладкой плоскости. Эта механическая система равномерно вращается вокруг неподвижного центра масс с периодом Т секунд. Вдруг шарик 1 оторвался от пластинки.
На каком расстоянии от ближайшего шарика он будет через Т секунд.
2 (СССР, 1982, б баллов). Механическая система, состоящая из однородного цилиндра радиуса R и массы m1, груза массы m2 и нерастяжимой нити, приводятся в движение из состояния покоя постоянным вращающим моментом M. В начальный момент времени нить, связывающая цилиндр и груз, не была натянута, и ее провисающий излишек был равен l.
Найти угловую скорость цилиндра в первый момент после того, как груз оторвется от пола, считая, что в дальнейшем движении системы нить натянута.
3 (СССР, 1987, 7 баллов). Однородный конус с радиусом основания r и высотой h стоят на горизонтальной доске. Масса конуса равна m, коэффициент трения между доской и конусом равен f. Доска внезапно приведена в движение с ускорением a. При каком условии конус будет двигаться поступательно? Определите ускорение конуса в поступательном движении.
4 (СССР, 1986, 7 баллов). Однородный стержень в состоянии покоя опирается концом А на гладкий пол. Конец B удерживается вертикальной нитью. Стержень составляет угол ? с горизонтальным полом, его масса равна m , длина 2l .
Определить давление стержня на пол в момент после перерезания нити.
5 (PCФCP, 1987, 7 баллов). Свободная система из трёх одинаковых точных масс m, расположенных в углах равностороннего треугольника ANK со стороной l и связанных жестко невесомыми стержнями, равномерно вращается с угловой скоростью ?0 вокруг неподвижного центра масс С. В изображенном. на рисунке положении масса в точке А освободилась без толчка (оборвался стержень ОА).
На каком расстоянии S одна от другой окажутся точки А и N после прихода прямой NK в положение, параллельное оси у, когда точка N впервые после отрыва окажется над точкой К?
6 (СССР, 1989, 6 баллов). Однородная прямоугольная пластинка движется по гладкой горизонтальной плоскости прямолинейно и поступательно с постоянной скоростью U. В некоторый момент времени одна из вершин пластинки шарнирно закрепляется. Определить реакцию шарнира при ее дальнейшем движении. Размеры пластинки и направление U указаны на рисунке. Масса пластинки равна m.
7 (СССР, 1989, 10 баллов). Однородный стержень длины l и массы m покоится на гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент к концу стержня приложена сила F под углом ? к горизонту (сила F и стержень расположены в одной вертикальной плоскости). Определить проекции ускорения центра масс стержня на оси координат ОХ и ОУ в начальный момент его движения.
