Практикум 19. Проводники в электрическом поле. Электроемкость проводников. Конденсаторы. Энергия электрического поля.
Связь электрического заряда и потенциала
(1)
Электрическая емкость плоского конденсатора
, (2)
Напряженность поля в плоском конденсаторе
(3)
Электрическая емкость уединенной сферы
, (4)
Электрическая емкость уединенной сферы
, (5)
Параллельное соединение конденсаторов
(6)
Последовательное соединение конденсаторов
(7)
Энергия электрического поля заряженного конденсатора
(8)
Плотность распределения энергии электрического поля
(9)
Пример 19.1. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии 
см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 
мкКл/м2 и 
мкКл/м2. Определить разность потенциалов 
между плоскостями.
Решение
Напряженность поля между плоскостями, заряженных разными по знаку зарядами равна 
. Разность потенциалов 
найдем из определения работы 
поля по перемещению пробного заряда 
с одной пластины на другую 
.
Итак, искомая разность потенциалов равна 
В.
Ответ: 
В.
Пример 19.2. Восемь заряженных водяных капель радиусом 
мм и зарядом 
нКл каждая сливаются в одну общую водяную каплю. Найти потенциал 
большой капли.
Решение
Известно, что дождевые капли имеют размеры в диапазоне от 0.1 до 5 мм. В облаке при температуре выше точки замерзания воды процесс слияния мелких капель облака в конечном счете приводит к выпадению капель из облака, такой процесс является одним из распространенных сценариев развития дождя, подробности можно узнать из популярной литературы или в Интернете. Каждая из 
водяных капель несет заряд, поэтому имеет на поверхности капли ненулевой потенциал равный 
. При объединении 
капель, результирующая капля имеет заряд равный 
и радиус 
равный 
. Если исходные капли одинакового размера, то 
и 
. Результирующий потенциал равен 
В.
Ответ: 
В.
Пример 19.3. Найти емкость 
земного шара. Считать радиус земного шара 
км. Насколько изменится потенциал 
земного шара, если сообщить ему заряд 20 Кл (такой заряд перетекает при электрическом разряде (молния).
Решение
Изменение потенциала связан с изменением зарядом системы согласно (1): 
. Тогда 
. Электроемкость земного шара равна 
Ф. Изменение потенциала равно 
кВ.
Ответ: 
кВ.
Пример 19.4. Одному шарику сообщили заряд 
нКл, другому сообщили заряд 
нКл, затем шарики соединили проводником. Найти окончательное распределение зарядов на шариках, находящихся далеко друг от друга. Радиус первого шарика 
см, второго 
см. Емкостью соединительного проводника можно пренебречь
Решение
До соединения шарики имели разный заряд, разную емкость и разный потенциал на поверхности шариков. Когда шарики соединили проводником, заряды перетекали с одного шарика на другой, пока не сравнялись потенциалы шариков. В последнем состоянии первый шарик имел заряд 
, а второй - 
. Наша задача определить эти заряды. Итак, 
и 
. Так как шарики удалены на большое расстояние друг от друга, то мы пренебрегаем их взаимным влиянием друг на друга и суммарная емкость системы 
равна 
, тогда потенциал 
можно найти из (1), записанный для соединения шаров: 
и 
. Заряд 
равен 
Кл, а заряд 
равен 
Кл.
Проверка: 
нКл и 
нКл
Ответ: 
Кл, 
Кл.
Пример 19.5. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов 
В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной 
мм и эбонита толщиной 
мм. Площадь каждой пластины 
м2. Найти: а) электроемкость 
конденсатора; б) напряженность электростатического поля 
в стекле, электрическое смещение 
и падение потенциала 
в каждом слое. Диэлектрическая проницаемость стекла 
, эбонита 
.
Решение
Конденсатор с таким слоистым диэлектрическим наполнением представляет собой батарею последовательно соединенных конденсаторов. При передаче положительного заряда 
на одну из пластин конденсатора, вследствие электрической индукции на границе раздела диэлектриков индуцируется связанный заряд, который индуцирует в конечном счете отрицательный заряд на другой пластине конденсатора.
Емкость такой батареи конденсаторов равна 
, где 
. Заряд 
найдем из (1), где 
Ф. Напряженность поля в каждом слое найдем по (3) 
и 
, где 
и 
, тогда 
Кл/м2, 
В/м, 
В/м. Электрическая индукция 
, аналогично для второго слоя 
. Падение потенциала в первом слое равно 
В, а во втором слое 
В. Проверка: 
В.
Ответ: а) 
Ф, б) 
В/м, 
В/м; 
Кл/м2; 
В, 
В.
Пример 19.6. Конденсатор электроемкостью 
пФ зарядили до разности потенциалов 
В и отключили от источника тока. Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаряженный конденсатор электроемкостью 
пФ. Определить энергию, израсходованную на образовании искры, проскочившей между обкладками конденсаторов при их соединении.
Решение
Энергия, запасенная в конденсаторе, используется во многих устройствах электротехники, электроники, микро - и наноэлектроники, например, в электрических контурах, в линиях дальней связи, электрошокерах и т. п. Любой конденсатор может удерживать только определенное количество заряда, определяемое емкостью конденсатора и предпробивной разностью потенциалов 
, которое определяется свойствами среды окружающей обкладки конденсатора. Согласно (8) начальная энергия равна 
, после подсоединения второго конденсатора 
. Найдем разность потенциалов 
из закона сохранения электрического заряда: 
, тогда 
В. Энергия искрового разряда равна 
Дж.
Ответ: 
мДж.
Пример19.7. Электрическое поле создано заряженной (
мкКл) сферой радиусом 
см. Какова энергия 
поля, заключенная в объеме, ограниченной сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в два раз больше радиуса сферы?
Решение
Чтобы найти энергию поля воспользуемся определением энергии 
через плотность распределения энергии 
, где элемент объема удобно взять в виде шарового слоя 
. Энергия всего слоя есть интеграл
, где 
. Интегрируем последний интеграл и получаем 
Дж.
Ответ:: 
Дж.
Самостоятельная аудиторная работа.
А19.1. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии 
см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями 
мкКл/м2 и 
мкКл/м2. Определить разность потенциалов 
между плоскостями.
А19.2. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенциала 20 В, сливаются в одну большую капли (совсем как терминатор из жидкого металла). Каков электрический потенциал образовавшийся капли?
А19.3. Шар радиусом 6 см заряжен до потенциала 300 В, а шар радиусом 4 см – до потенциала 500 В. Определить потенциал шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника можно пренебречь.
А19.4. На пластинах плоского конденсатора равномерно распределен заряд с поверхностной плотностью 
Кл/м2. Расстояние между пластинами равно 1 мм. Насколько изменится разность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния между пластинами до 3 мм?
А19.5. Конденсатор электроемкостью 0.6 мкФ был заряжен до разности потенциалов 300 В и соединен со вторым конденсатором электроемкостью 0.4 мкФ, заряженным до разности потенциалов 150 В. Найти заряд, перетекший с пластин первого конденсатора на второй.
А19.6. Какое количество теплоты выделится при разряде плоского конденсатора, если разность потенциалов между пластинами равна 15 кВ, расстояние 1 мм, диэлектрик – слюда и площадь каждой пластины равна 300 см2? Диэлектрическая проницаемость слюды 
.
А19.7. Уединенная металлическая сфера емкостью 10 пФ заряжена до потенциала 3 кВ. Определить энергию поля, заключенную в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса сферы.
Задание на дом:
В19.1. Определить электроемкость металлической сферы радиуса 
см, погруженной в воду.
В19.2. Расстояние между пластинами плоского конденсатора равно 1.33 мм, площадь пластин равна 20 см2. В пространстве между пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной 0.7 мм и эбонита толщиной 0.3 мм. Определить электроемкость конденсатора.
В19.3. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов 600 В и отключенного от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но заполненный диэлектриком (фарфор). Определить диэлектрическую проницаемость фарфора, если после присоединения второго конденсатора разность потенциалов уменьшилась до 100 В.
В19.4. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом 10 см каждая. Расстояние между пластинами равно 
см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов 1.2 кВ и отключили от источника. Какую работу надо совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить расстояние между ними до 
см?
В19.5. Вычислить энергию электростатического поля металлического шара, которому сообщен заряд 100 нКл, если диаметр шара равен 20 см.
Ответы
А19.1. 
В. А19.2. 
В. А19.3. 
В. А19.4. 
В.. А19.5. 
мкКл. А19.6. 
Дж. А19.7. 
мкДж.
В19.1. 
пФ. В19.2. 
пФ. В19.3. 
. В19.4. 
мкДж. В19.5. 
мДж.
Литература
, Задачник по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.
Курс общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, Волны, Оптика. М.: Наука, 1988. – 496 с.
Общий курс физики. Том 3. Электричество. М.: Наука, 1983. -688 с.
