Высшая математика
Занятие №1(II семестр)
Производная функции одной переменной.
Производные высших порядков. Частные производные. Частные и полный дифференциал функции нескольких переменных. Неопределенный интеграл.
Определенный интеграл.
Теоретические вопросы.
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций. Дифференцирование сложных функций. Понятие функции нескольких переменных. Частные производные функции нескольких переменных. Частные и полные дифференциалы функции нескольких переменных. Неопределенные интегралы. Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интегралаЛитература для подготовки:
«Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 1-83. «Методическая разработка для самостоятельной подготовки по курсу «Высшая математика, информатика» для студентов лечебного и медико-профилактического факультетов» М. 2000.На практическом занятии выполнить задания:
Найти производные следующих функций:1) 
2) 
3)
4) 
2. Найти вторые производные следующих функций:
1)y=(2x+5)3 ; 2) 
3. Решить задачи:
1)Концентрация раствора меняется с течением времени по закону 
.
Найти скорость растворения.
2) Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением М=5t2+ 6t. Найти скорость реакции.
3) Рост числа клеток популяции описывается уравнением:
Получите формулу для скорости роста численности популяции.
4. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций:
1) 
2) 
3) 
5. Найти следующие неопределенные интегралы:
 |
 |
 |
 |
6. Вычислить определенные интегралы:
 |
 |
Домашнее задание №1.
Самоподготовка (изучить и законспектировать по учебнику «Основы высшей математики и статистики» М., 1998, стр. 52-58) Выполнить задания: Найти производные следующих функций:1) 
4) 
2)
5) 
3) 
Определить ускорение тела в момент времени
сек, если скорость тела 
и измеряется в м/с. Найти частные производные, частные и полные дифференциалы функций: 1) |
2) |
3) |
4) |
5) 
4.Найти неопределенные интегралы:
 |
 |
 |
Вычислить значения определенных интегралов:
 |
 |
 |
Решить задачу:
Укорочение мышцы при одиночном раздражении можно описать уравнением Релея:
, где t - время, b и k – постоянные величины. Найти моменты времени, при которых скорость укорочения мышцы будет равна нулю. Чему будет равно ускорение?
Занятие №2 Дифференциальные уравнения I и II порядков.
Теоретические вопросы.
Понятие дифференциального уравнения. Чем определяется порядок дифференциального уравнения? Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения? Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, их решение. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, их решение. Применение полного дифференциала функции нескольких переменных в приближенных вычислениях.Литература для подготовки:
На практическом занятии выполнить задания:
Концентрация раствора изменяется с расстоянием по законуC=C0 
где C0 – некоторая постоянная величина. Получить формулу для градиента концентрации.
и частное решение, удовлетворяющее условию y= -10 при x=16. Найти общее решение дифференциального уравнения 
и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=0, y=5. Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа размножения равна ?. Скорость распада некоторого лекарственного вещества пропорциональна наличному количеству лекарства в крови пациента. Определить зависимость массы данного вещества в крови от времени, если она в начальный момент времени равна 0,2 мг, а через 23 часа уменьшилась вдвое. Проверить подстановкой, что дифференциальное уравнение 
имеет общее решение в виде 
. Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=3 при x=0. Решить дифференциальные уравнения.
|
|
 , где R – универсальная газовая постоянная. Найти приращение давления газа при одновременном изменении его объёма и температуры соответственно на ?V и ?T. Считать ?P?dP. |
, при y(0)= -3, y?(0)=0.
, при y(0)=0, y?(0)=1.
, при y(1)=10, y?(1)=2.Домашнее задание №2.
Подготовиться к контрольной работе №1.
Выполнить задания:
Найти общее решение дифференциального уравнения (x+1)dy – (y+1)dx=0 и частное решение, удовлетворяющее условию y= 1 при x=-1. Найти общее решение дифференциального уравнения
и подстановкой проверить правильность найденного решения. Найти частное решение при x=1, y=2. Скорость гибели некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий N в данный момент времени t. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени N(t), если константа убыли численности бактерий равна ?. Скорость растворения некоторого лекарственного вещества в таблетках пропорциональна количеству лекарства в таблетке. Найти закон растворения таблетки ( т. е. закон изменения массы), если период полурастворения таблетки T. Проверить постановкой, что данная функция является общим решением данного дифференциального уравнения: 
для 2Y
. Решить дифференциальные уравнения.
|
 , где R – универсальная газовая постоянная. Найти приращение объёма газа при одновременном изменении его давления и температуры соответственно на ?P и ?T. Считать ?V?dV. |
, при y(0)= 1, y?(0)=1.
, при y(0)=0, y?(0)=8.