Выпускная квалификационная работа магистра" Построение сейсмической скоростной модели верхней части разреза в областях распространения мерзлоты " (стр. 2 )

Так как мы предполагаем что волна движется вдоль границы то для любой точки на границе будет справедливо равенство . Граница строится по точкам где сумма полей времен равна взаимному времени.

Ограничениями метода являются необходимость наличия априорной информации о скоростях в каждом слое и наличие протяженных участков прослеживания головных волн на годографах (для наибольшего перекрытия встречных полей времен).

Теперь рассмотрим методы, предполагающие плавно-неоднородные среды.

Метод Вихерта-Герглотца. В рамках этого подхода предполагается, что производится регистрация рефрагированных волн, выходящих в первые вступления [Пузырев, 1997].

Самый простой метод в этой группе работает для вертикально неоднородных сред с монотонным возрастанием скорости с глубиной. Для решения обратной задачи используется формула Чибисова, являющейся обобщением формулы Вихерта-Герглотца:

               181019

где l– удаление источник-приемник, V(ln) – кажущаяся скорость (наклон годографа) в заданной точке профиля  ln, zn – точка максимального погружения луча, приходящего в ln. Тогда по годографу можно восстановить профиль скорости V(zn).

       Также есть несколько методов обращения годографов волн в вертикально неоднородных средах более общего вида [Бурмин, 2011]: обращение разрывных годографов рефрагированных волн; обращение годографа волны, распространяющейся от глубинного источника вверх; обращение годографов волн, отраженных от плоской границы; обращение годографа общей точки отражения; обращение разности годографов продольной волны и обменной поперечной.

Метод лучевой томографии. Для уточнения произвольно неоднородных гладких скоростных моделей используют метод лучевой томографии [Natterer,  1986].

Пусть в некоторой реальной модели источник с и приемник r соединяются лучом . Тогда по заданной траектории луча находится время по формуле:

               201121

В рамках лучевой томографии предполагается известной референтная модель V0(x, z). В ней c и r соединяются другим лучом и время пробега становится:

               221223

Времена пробега волны t нелинейно зависят от скорости V, т. к. луч, вдоль которого ведется интегрирование, зависит от V и является неизвестной величиной. Линеаризация обратной задачи заключается в представлении V(x, z)=V0(x, z)+?V(x, z), где ?V(x, z) предполагается неизвестной малой добавкой. Подставим это представление в выражение (18) для времени и в первом приближении получим:

               241325

Тогда можно определить невязку по времени:

               261427

где- линейный томографический оператор, переводящий невязки модели в невязки времен.

       Для дискретизации задачи предполагаем, что невязка скоростной модели является кусочно-постоянной функцией. На рис. 3 показан пример дискретизации модели в виде кусочно-постоянной функции, цветом показана невязка скорости, линиями обозначены лучи. Слева области расположены источники, справа - приемники. Построение томографического оператора осуществляется путем нахождения длин лучей в ячейках дискретизированной референтной модели.

       Тогда линеаризованное соотношение (1.13) принимает форму линейной системы:

               281529

где - вектор невязок скоростей в каждой ячейке прямоугольной сетки, - вектор невязок времен для всех пар источник-приемник.

Рис. 3. Дискретизация модели невязок скоростей и схема лучей.

Томографическая инверсия сводится к решению этой линейной системы, т. е. к обращению матрицы A. С помощью SVD разложения матрицу можно представить в виде:

               301631

где U - матрица, состоящая из левых сингулярных векторов  un, V - матрица из правых сингулярных векторов vn, на диагонали содержит сингулярные числа sn.

Для устойчивого решения системы строится псевдообратный оператор.  находится с использованием усеченного SVD разложения [Чеверда, Костин, 2010]. Для его нахождения используются только первые r сингулярных чисел.  Действие такого оператора определяется формулой:

               321733

Оптимальное r определяется по результатам предварительного тестирования на известных моделях.

       Основные ограничения метода:

Функция распределения скорости в среде предполагается гладкой. Необходимо хорошо знать начальную модель, так как искомая невязка модели считается малой.

В качестве вспомогательного метода решения прямой задачи (расчёта полей времен), использовался метод численного решения уравнения эйконала Fast Marching [Sethian, 1996]:

Уравнения эйконала (описывающее кинематику распространения сейсмических волн):

               341835

где -градиент функции…

В основе метода лежит конечно-разностная схема. Все точки прямоугольной сетки разбиваются на три группы (рис. 7): 1) точки с рассчитанным временем (сплошные круги), 2) точки в которых время рассчитывается на следующем шаге (не закрашенные круги), 3) в остальных точках, не затронутых расчетом, значение времени берется равным бесконечности (плюсы).

Рис. 7. Прямоугольная сетка для метода Fast Marching.

Решение идет от узлов с меньшими временами ? к узлам с большими. Рассмотрим вычисление  в узле ij прямоугольной сетки, оно определяется соотношением:

       361937

Значение считается неизвестным, а времена в соседних точках известны (либо были посчитаны, либо считаются бесконечностью). Тогда (1.18) сводится к квадратному уравнению на . Если в результате решения (1.18) получаются 2 корня, то выбирается наибольший корень [Crandall, Lions, 1983].

Глава 2. Методика послойного восстановления разреза.

В работе предлагается новая методика построения скоростного разреза, основанная на комбинировании нескольких методов решения обратной и прямой задач [Епинатьева, Голошубин, 1990]. Опишем предлагаемую методику подробно:

В качестве начальных данных выступает система увязанных годографов со всего профиля наблюдений. Дальнейшая обработка включает в себя четыре этапа:

Этап 1. Необходимо определить точки перегибов годографов, определяющих координату профиля после которой в первых вступлениях, наблюдается головная волна. На этом этапе важно разделить точки перелома годографов в случае с переходом от прямой к головной волне и точки перелома, связанные с выклиниванием слоя (рис. 4). Положение точки перелома связанной с головной волной зависит от положения источника, точки связанные с выклиниванием зависят только от координаты профиля.

Рис. 4. Совокупность годографов и модель с низкоскоростными линзами.

Этап 2. Определяется скорость распространения сейсмических волн в верхнем слое. При однородных слоях скорость во всем слое определяется по наклону годографа. В данной работе слои считаются неоднородными, вследствие чего для восстановления скоростной модели используется лучевая томография методом усеченного SVD разложения. В качестве начальной модели берется одномерная модель со скоростью определенной по наклону годографа прямой волны.

После построения скоростной модели верхнего слоя необходимо найти геометрию границы раздела. Так как она не предполагается плоско-горизонтальной применение стандартного метода Т0` [Епинатьева, Голошубин, 1990] в таком случае проблематично. Поэтому мы применяем модификацию метода полей времен пробега. При таком подходе (в отличии от Т0`) нет необходимости заранее находить распределение скоростей в подстилающем высокоскоростном слое. В условиях сложной криволинейной геометрии границы раздела это является существенным преимуществом.