План – конспект урока.

Тема «Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию»

1. ФИО (полностью)

2. Место работы МБОУ «школа № 000»  г. Нижний Новгород

3. Должность учитель математики

4. Предмет геометрия

5. Класс7

6. Тема и номер урока в темеСвойства равнобедренного треугольника  (2 урока, урок 1)

7. Базовый учебник И др.  Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов

8. Цель и задачи урока

  Цель:изучить свойство биссектрисы равнобедренного треугольника

  Задачи:

  - обучающие

    закрепить знания о равнобедренном треугольнике; создать условия для усвоения знаний о свойстве  биссектрисы равнобедренного треугольника; научить применять данное свойство равнобедренного треугольника при решении геометрических задач.

  - развивающие


  - воспитательные

    воспитывать аккуратность, внимательность; развивать интерес к культуре умственного труда,  культуру речи и письма. 

9. Тип урока урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

10. Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

11. Необходимое техническое оборудование: компьютеры, мультимедиа проектор, раздаточный материал.

12. Структура и ход  урока

СТРУКТУРА И ХОД УРОКА

№

Этап урока

Название используемых ЭОР

(с указанием  порядкового номера из Таблицы 2)

Деятельность учителя

(с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

Деятельность ученика

Время

(в мин.)

1

2

3

5

6

7
Мотивационно-ориентировочная часть.

10 мин.

1.1

Актуализация

Вводная беседа

6 мин.

На предыдущих уроках мы начали изучение треугольника, учились доказывать равенство двух треугольников, ссылаясь на первый признак равенства треугольников, учились строить медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Однако, этим не исчерпываются знания о треугольниках, нам предстоит сформулировать и доказать новые теоремы, отметить некоторые особенности их доказательства, и тем самым расширить знания о треугольнике. Сегодняшний урок мы начнем с решения задач, которые помогут нам в дальнейшей работе.

Предлагаются задачи

Фронтальная работа. Решают предложенные задачи

Задача 1

Дано: ABC

AD – биссектриса

BAD = 360

Найти: BAC        

- Можно ли утверждать, что 

ABD = ADC?

- AD – биссектриса треугольника АВС, значит это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны. Биссектриса угла – это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. AD – биссектриса BAC и делит его на два равных угла:  BAD и DАС. BAD = 360

, значит DАС = 360, следовательно BAC = 720.

- Утверждать, что

ABD =  ADC нельзя, т. к. не хватает условия.

- Как нужно дополнить условие, чтобы можно было утверждать, что ABD = ADC?

- Для того чтобы утверждать, что ABD = ADC по первому признаку равенства треугольников надо чтобы были равны три пары элементов: две стороны и угол между ними одного треугольника, двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Равенство двух пар элементов нам известны: AD – общая,  BAD = DАС, значит необходимо дополнить условием АВ = АС.

- Сравните отрезки BD и DC, если ABD = ADC.

Задача 2

Дано: MNK – равнобедренный

MK – основание

MN = 12дм, MP = 8дм

PMNK = 40дм.

- Если ABD = ADC, то по свойству равных треугольников против соответственно равных углов лежат равные стороны, т. к. BAD = DАС, то стороны, лежащие против них равны, значит BD = DC.

- Т. к. MNK – равнобедренный, то две боковые стороны его равны, значит NK = 12дм. Периметр треугольника – это сумма всех сторон треугольника, т. е. MN + NK + MK = 40, а т. к. MK состоит из двух частей, то равенство можно переписать MN + NK + MP + PK = 40, подставляя значение длин известных отрезков, получаем 12+ 12 + 8 + PK = 40, решая это уравнение, получаем PK = 8дм.

Найти: PK

- Как называется отрезок NP?

- Итак, что достаточно было установить, чтобы отрезок NP был медианой треугольника MNK? 

Задача 3

- Т. к. PK = MP значит P – середина отрезка MK, а отрезок NP соединяет вершину N треугольника  MNK с серединой P противоположной стороны MK, следовательно,  NP – медиана треугольника MNK.

- Чтобы отрезок NP был медианой треугольника MNK, надо было установить, что точка P – середина противоположной стороны, т. е. надо доказать, что PK = MP.

Дано: DEP

1 = 2

Доказать: EK – высота

- Что достаточно было установить, чтобы доказать, что EK – высота?

- 1 и 2 – смежные углы, тогда по свойству смежных углов их сумма равна 1800,т. е.  1 + 2 = 1800, а т. к. по условию 1 = 2, то 1 = 2 = 900. 1 и 2 образованы отрезками DP и EK, следовательноEK – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, значит EK – высота треугольника.

- Для того, чтобы доказать, что EK – высота DEP необходимо было установить, что 1 = 2 = 900.

1.2

Мотивация

Задача 4

Дано: ABC – равнобедренный

  АС – основание

BD – высота

  АС = 8см

Найти: DC

- Почему?

- Не можем решить.

- BD – это высота, а не медиана.

2 мин.

1.3

Постановка учебной задачи и планирование ее решения.

- Какую задачу поставим перед собой на сегодняшнем уроке?

- Выработаем последовательность наших действий.

- Узнать новое о высоте равнобедренного треугольника.

- Выдвинуть гипотезу.

- Установить ее истинность или ложность.

- Если истинность будет установлена, то решить данную задачу и посмотреть, при решении каких еще задач можно использовать доказанное утверждение.

2 мин.
Операционно-познавательная часть

14 мин.

2.1

Выдвижение гипотезы

Практическая работа в программе «Живая математика

Учитель оказывает помощь, если она необходима.

Учащиеся группами выполняют практическую работу. В ходе выполнения работы, анализируя полученные результаты, ученики, делают предположение.

6 мин.

2.2

Формулирование теоремы, поиск доказательства

Подводит итог практической работы. Корректирует их( каким образом проводятся эти отрезки).

- Сформулируйте свои выводы в терминах «если…, то…».

- Медиана, высота и биссектриса в равнобедренном треугольнике один и тот же отрезок.

- Если высота проведена к основанию равнобедренного треугольника, то она является и медианой и биссектрисой».

- Если биссектриса проведена к основанию

8 мин.

Выясняет, что доказать истинность смогли только одного предложения.

« Если биссектриса проведена к основанию

равнобедренного треугольника, то она является и медианой и высотой».

- Если медиана проведена к основанию равнобедренного треугольника, то она является и высотой и биссектрисой».

Группами ребята устанавливают истинность и ложность сформулированных предложений.

равнобедренного треугольника, то она является и медианой и высотой».

- Как бы вы назвали новые знания о биссектрисе?

Оформляет записи на доске.

«Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника».

Дано:ABC – равнобедренный

  АС – основание

BD – биссектриса

- Свойство.

Оформляют доказательство в тетради

Доказать: BD – медиана

BD – высота

Доказательство:

1)1=2(……………………)

2) АВ = ВС(……………………)

3)ABD = DBC(……………)

4) AD = DC, 3 = 4(………)

5) BD – медиана

6) 3 = 4 = 900(…………….)

7) BD – высота
Рефлексивно-оценочная часть

16 мин.

3.1

Осознание, осмысление.

- Какую теорему доказали?

Ученики фронтально отвечают на вопросы.

- Выделим базис доказательства, т. е. опорные теоремы, определения, аксиомы.

- Верно ли что:

1) биссектриса треугольника является медианой и высотой.

2) если треугольник равнобедренный, то его биссектриса является медианой и высотой.

3) в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой.

- Какие еще верные утверждения можно сформулировать, используя данную теорему?

6 мин.

3.2

Закрепление, применение

1. «Найдите ошибки»

Группами решают задачи по готовым чертежам. Отвечают на вопросы

- Если AB = BC, значит ABC – равнобедренный, с основанием AC. Т. к. ABD = DBC, то BD – биссектриса треугольника АВС к основанию АС, значит по свойству биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию, BD – медиана, следовательно AD = DC; BD – высота, следовательно ADВ = 900.

10 мин.

2.

Дано: ABC – равнобедренный

  АС – основание

BD – высота

  АС = 8см

Найти: DC

3.

BD – высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника АВС, то по доказанной теореме BD является и медианой, следовательно, AD = DC, а т. к. AC = 8см, то DC = 4см.

Дано: MN = MK

MP – медиана

NMP = 420

Найти: PMK, MPK

4.

- Т. к. MN = MK, то NMK – равнобедренный с основанием NK. По условию MP –медиана NMK, проведенная к основанию NK, значит по доказанной теореме MP – биссектриса NMK, следовательноPMK = 420, MP – высота и следовательно MPK = 900.

- Т. к. DK = KE, то DKE – равнобедренный с основанием DE. Т. к. DPK = 900, значит KP – высота, проведена к основанию DE, следовательно по доказанной теореме KP – медиана, а т. к. DP = 6см, то DE = 12см, KP – биссектриса и т. к. DKE = 780, то DPK

Дано: DK = KE

DPK = 900

DP = 6см

DKE = 780

Найти: DE,DKP

5.

Дано: AB = BC

AC = 12см

Найти: AD

медиана, а т. к. DP = 6см, то DE = 12см, KP – биссектриса и т. к. DKE = 780, то DPK = 390.

- Эту задачу, используя доказанную теорему, решить нельзя, т. к. неизвестно что за отрезок BD. 

6.

Дано: AB = BC

ADB = 900

BD – биссектриса

AD = 7дм

Найти: AC

Сформулируйте требования задачи так, чтобы в ее решении использовалась доказанная теорема.

- Т. к. AB = BC, значит ABC – равнобедренный с основанием AC. По условию BD – биссектриса, проведенная к основанию AC, значит по доказанной теореме BD – медиана, следовательноAD = DC и AC = 14дм. Условие

ADB = 900, лишнее, т. к. оно говорит о том, что BD – высота.

7.

8.

- В ABC сторона AC, равная 12см, равна стороне BC. Провели высоту CE, которая отсекает на стороне отрезок BE, равный 4см. Найдите длину стороны BA.

В MNP сторона MN равна стороне MP. Провели медиану MK, которая образует со стороной MN угол, равный 300. Найдите величину

KMP.

4.

Итоги урока

- Наша работа подходит к концу. Подведем ее итоги.

- Достигли ли поставленные перед нами цели?

- Какие задачи мы можем решить, используя доказанную теорему.

- Заполните лист самоконтроля.

Ребята вспоминают поставленные цели. Подводят итог своей работы. Вспоминают формулировку доказанной теоремы. Вспоминают, какие задачи могут быть решены с помощью этой теоремы. Заполняют лист самоконтроля.

3 мин.

5.

Домашнее задание

1. Геометрия 7 – 9, п.18 выучить формулировку теоремы о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, уметь проводить ее доказательство. Используя основу для доказательства изучить свойство углов равнобедренного треугольника при основании.

2. Решить из учебника № 000

3. Решить задачу: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC проведена высота AM. Найдите высоту AM, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника ABM равен 24 см.

Записывают в дневники и получают «основу для доказательства».

2 мин.


Приложение к плану-конспекту урока

«Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию»

Основа для доказательства

СВОЙСТВА РАВНОБЕДРЕННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является ______________ и _____________.

ДАНО:

ДОКАЗАТЬ:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

1) Рассмотрим и :

2)

Сформулируйте свойство  иначе:

В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является ______________ и _____________. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является ______________ и _____________.

ЗАДАЧА

ДАНО:

       

НАЙТИ:

РЕШЕНИЕ

1) Рассмотрим

2) Рассмотрим :

ОТВЕТ:

ВЫВОД:  в равнобедренном треугольнике углы при основании  ___________________.

. В равнобедренном треугольнике углы при основании ________________.

ДАНО:

ДОКАЗАТЬ:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Рассмотрим и :