№16-17. Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции

№16-17. Условия возрастания и убывания дифференцируемой функции

Функция на интервале , при , где , называется возрастающей, если  и убывающей, если .

Пусть функция дифференцируема на интервале при всех тогда: если , то функция возрастает на , а если , то функция убывает на этом интервале.

Если существует окрестность точки , такая что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство (или ), то - называется точкой минимума (максимума) этой функции, а - локальным минимумом (максимумом) этой функции.

Точки максимума и минимума функции называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума): Если имеет в точке экстремума производную , то .

Замечание. В точке экстремума:

1) может не существовать производной. Пример: , - минимум, а не существует.

2) . Пример: , - минимум, но

Вывод: если в т. экстремум, то , , не существует.

Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки , может быть за исключением самой точки . Тогда, если при переходе через точку , меняет знак с "+" на "–", то в точке - максимум, а если с "–" на "+" – минимум. Если же не меняет свой знак при переходе через точку , то она не является точкой экстремума.