Внешние углы треугольника

Внешние углы треугольника

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.

Теорема

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним



Доказательство. Пусть ABC – данный треугольник. По теореме о сумме углов в треугольнике
? ABС + ? BCA + ? CAB = 180 ?.
Отсюда следует
? ABС + ? CAB = 180 ? - ? BCA = ? BCD
Теорема доказана.

Из теоремы следует:
Внешний угол треугольника больше любого угла треугольника, не смежного с ним.

Свойства углов многоугольника

Фигура	Рисунок	Формулировка теоремы
Углы n – угольника		Сумма углов многоугольника равна Посмотреть доказательство
Внешние углы n – угольника		Сумма внешних углов n – угольника, взятых по одному у каждой вершины, равна 360° Посмотреть доказательство

Свойства углов правильного n – угольника

Фигура	Рисунок	Формулировка теоремы
Углы правильного n – угольника		Все углы правильного n – угольникаравны
Внешние углы правильного n – угольника		Все внешние углы правильного n – угольника равны

 

Согласно свойствам прямоугольного треугольника, угол С - прямой и равен 90 градусам. Угол B мы изначально построили с градусной мерой 45 градусов. Найдем значение угла А. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, то

?А + ?В + ?С = 180°
Угол C прямой и равен 90 градусам, угол B мы изначально определили как 45 градусов, таким образом:
?А = 180° -?С - ?В = 180° - 90° - 45° = 45°

Поскольку у данного треугольника два угла равны между собой, то треугольник АВС –прямоугольный, и, одновременно, равнобедренный, в котором оба катета равны между собой: AC = BC.

Допустим, что длина сторон равна некому числу АС = ВС = а. Зная длины катетов, вычислим длину гипотенузы.

По теореме Пифагора: АВ2=АС2+ВС2
Заменим длины AC и BC на переменную а, тогда получим:

АВ2 = а2 + а2 = 2а2,

тогда АВ=аv2.

В результате мы выразили длины всех сторон прямоугольного треугольника с углом 45 градусов через переменную а.

Согласно свойств тригонометрических функций в прямоугольном треугольникесоотношение соответствующих сторон треугольника будет равным значению соответствующих функций. Таким образом для угла ? = 45 градусов:

sin ? = BC / AB (согласно определению синуса для прямоугольного треугольника - это отношение противолежащего катета к гипотенузе, BC - катет, AB - гипотенуза)

cos ? = AC / AB (согласно определению косинуса - это отношение прилежащего катета к гипотенузе, AC - катет, AB - гипотенуза)

tg ? = BC / AC (аналогично, тангенс для угла ? будет равен отношению противолежащего катета к прилежащему)