«Кузнечик ты мой, человечек,

зеленый ты мой дурачок!..»

Прошло лето! Прошло время летних прогулок и походов, загорания и купания! А еще — стрекотания кузнечиков, их звонких мелодий, романтических серенад. Кто из нас не ловил кузнечика сачком или руками? А затем, насмотревшись на его лапки, голову, крылья, усики-антенны, не выпускал его? Живи, дивный музыкант и мастер по прыжкам в длину!

Стоп!.. «Мастер по прыжкам в длину! — задумались математики. — Этого нельзя не использовать! Здесь целый кладезь задач!»

Задумано — сделано! Одна за другой появились задачи «про кузнечика» — и собрались в музыкально-прыгательную коллекцию, которую пора уже предложить вниманию участников…

Задача 1. Кузнечик может прыгнуть за один прыжок на 40 см или на 60 см. За какое наименьшее число прыжков он пропрыгает по прямой ровно 8 метров?

Задача 2. Кузнечики напрыгались и приготовились петь серенаду. Они выстроились в два ряда: 8 кузнечиков на расстоянии 2 м друг от друга и 15 кузнечиков на расстоянии 1 м один от другого. Какой ряд длиннее?

Задача 3. Кузнечик прыгает по клетчатой прямоугольной дорожке, площадь которой равна 31 клетке. Каков периметр дорожки?

Задача 4. Кузнечик прыгает вдоль прямой вперед на 80 см или назад на 50 см. Сможет ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

Задача 5. Кузнечик прыгает по координатной прямой малыми и большими прыжками. Большой прыжок составляет 12 единичных отрезков, а малый прыжок — только 7. Правда ли, что кузнечик может попасть из любой точки с целой координатой в любую другую?

Задача 6. Кузнечик прыгает на 1 см, затем на 3 см в том же или противоположном направлении, затем в том же или противоположном направлении на 5 см и так далее. Может ли он после 25 прыжков оказаться в исходной точке?

Задача 7. Четыре кузнечика расположились вдоль прямой для музицирования. Расстояние между первым и вторым равно 63 м, между вторым и третьим — 14 м, а между третьим и четвертым — 84 м. Сколько еще кузнечиков надо поставить между ними для создания хора с попарно равными расстояниями между соседними музыкантами?

Задача 8. На лужайке прыгают 25 кузнечиков. Среди них музыкальных столько же, сколько быстропрыгающих. Если кузнечик немузыкальный, то он обязательно быстропрыгающий. Могут ли среди них быть ровно два музыкальных быстропрыгающих кузнечика?

Задача 9. В левом нижнем углу квадрата 7 х 7 сидит кузнечик. Он может прыгать только по диагонали и только через одну клеточку. Укажите наибольшее количество клеточек, на которых может побывать кузнечик.

Задача 10. Во всех клетках квадрата 7 х 7 сидит по кузнечику. По сигналу каждый из них перепрыгивает на соседнюю по диагонали клетку. При этом в некоторых клетках может оказаться более одного кузнечика, а в некоторых — ни одного. Докажите, что пустых клеток будет не меньше 7.

Задача 11. Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 м прыгают 5 кузнечиков. Верно ли, что расстояние между некоторыми двумя из них не превышает 0,5 м?

Задача 12. Пять кузнечиков находятся в точках плоскости с целыми координатами. Докажите, что середина одного из отрезков, соединяющих двух кузнечиков, также имеет целые координаты.

Задача 13. На прямом пути от A до B через каждый метр вбит колышек с табличкой, на которой указано, сколько метров от колышка до A и сколько от него же до B. Кузнечик, проделав путь из A в B (длина его прыжка 1 м), заметил, что на каждом колышке сумма всех цифр, указывающих оба расстояния, равна 13. Сколько метров от A до B?

Задача 14. На поляне солнечным днем прыгали кузнечики: ПРЫГ + ПРЫГ + … + ПРЫГ, и они же весело стрекотали: АААААА. Интересно, при каком наименьшем числе слагаемых возможно равенство ПРЫГ + ПРЫГ + … + ПРЫГ = АААААА (одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным — разные).

Задача 15. На крайней клетке доски 1 х 101 сидит кузнечик. Одним прыжком он может перепрыгнуть через одну или две клетки и приземлиться в следующей за ними. Сможет ли он побывать на всех клетках ровно по одному разу?

Задача 16. Три кузнечика на прямой играют в чехарду: каждую секунду один из них прыгает через какого-то другого (но не через двух). Как сделать, чтобы они через 49 секунд вернулись на свои места?

Задача 17. В трех вершинах квадрата сидят кузнечики и начинают играть в чехарду: один из них прыгает в точку, симметричную относительно другого. Сможет ли хоть один кузнечик попасть в четвертую вершину квадрата?

Задача 18. В одной клетке бесконечной клетчатой доски сидит кузнечик. За один ход он может прыгать так: на четыре клетки по вертикали или по горизонтали, затем на две клетки в перпендикулярном направлении. Например, так.

Докажите, что можно закрасить клетки доски так, что любые две клетки, отвечающие одному прыжку кузнечика (в нашем случае, клетки A и B), будут покрашены в разный цвет.

Задача 19. По окружности лужайки, разбитой на несколько дуг (рис. слева), прыгает кузнечик. Перед каждым своим прыжком он / на кружке

вычисляет длину дуги, на которой находится. После чего прыгает по часовой стрелке на дугу вычисленной длины.

Если, к примеру, он попадет на границу двух дуг, то дальше прыгает (по часовой стрелке) по граничным точкам, тем самым посещая все дуги. Верно ли, что в любом случае кузнечик побывает на всех дугах?

И последнее: уместно записать полностью стихотворение Татьяны Бек «Песенка про кузнечика», строчки из которого дали название конкурса.

С асфальтовой жаркой дороги

В окраинный скверик свернем...

Под лавкой усатый кузнечик

Стрекочет о чем-то своем.

Но только не просто стрекочет,

Но только не просто поет, —

Он, может быть, песенкой этой

Душе умереть не дает.

Поймала!.. Но он застеснялся,

Усы опустил — и молчок.

...Кузнечик ты мой, человечек,

Зеленый ты мой дурачок.

Выигрывают самые внимательные, сообразительные и быстрые.

Решение задач можно отправить в виде документа или отсканированного изображения.

БЛАНК ОТВЕТА

Название команды:

Класс:

Образовательное учреждение:

Логин:

Решение