Тема 3. Статистическое изучение
динамики социально-экономических явлений
(основные теоретические положения)
3.1. Ряды динамики и правила их построения.
3.2. Аналитические показатели ряда динамики.
3.3. Средние показатели ряда динамики.
3.4. Изучение основной тенденции в рядах динамики.
3.5. Сезонные колебания в рядах динамики.
3.1. Ряды динамики и правила их построения
Рядами динамики являются статистические данные, отображающие развитие явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: показатели времени t и соответствующие им уровни изучаемого явления у. В качестве показателей времени выступают определенные даты (моменты) времени либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки). Уровни ряда динамики отображают количественную оценку (меру) развития изучаемого явления во времени, могут выражаться абсолютными, относительными и средними величинами. В зависимости от характера изучаемого явления различают моментные и интервальные ряды динамики.
Моментный ряд динамики отображает состояние изучаемого явления на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики может служить информация о списочной численности работников предприятия.
Дата | 1.01.16 | 1.04.16 | 1.07.16 | 1.10.16 | 1.01.17 |
Число работников, чел. | 192 | 190 | 196 | 198 | 200 |
Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности.
Интервальный ряд динамики отображает итоги развития изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы времени). Примером интервального ряда динамики могут служить данные о производстве продукции за отчетный год.
Период | Январь–март | Апрель–июнь | Июль–сентябрь | Октябрь–декабрь |
Объем производства, млн. руб. | 885 | 935 | 980 | 940 |
Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя объем производства за три месяца получают его объем за квартал. Суммирование уровней за последовательные интервалы времени позволяет получать ряды динамики более крупных периодов.
Статистическое отображение развития изучаемого явления во времени с учетом предшествующих периодов может быть представлено интервальным рядом с нарастающими итогами. При составлении такого ряда производится последовательное суммирование смежных уровней интервального ряда динамики. Примером интервального ряда динамики могут служить данные о производстве продукции с начала отчетного года.
Период | Январь–март | Январь–июнь | Январь–сентябрь | Январь–декабрь |
Объем производства, млн. руб. | 885 | 1827 | 2807 | 3747 |
Необходимым условием для получения правильных выводов при анализе рядов динамики является сопоставимость уровней ряда между собой. Статистические данные должны быть сопоставимы:
1) по территории (соблюдение одних и тех же территориальных границ для всех уровней ряда);
2) по кругу охватываемых объектов (сравнение совокупностей с равным числом элементов);
3) по времени регистрации (равенство периодов времени, за которые приводятся данные (для интервального ряда) или представление показателей на одну и ту же дату (для моментного ряда);
4) по методологии расчета (использование единой методологии расчета всех уровней ряда);
5) по единицам измерения (использование одних и тех же единиц измерения для всех уровней ряда);
6) по ценам (использование постоянных или сопоставимых цен).
Возможными являются и другие причины несопоставимости. В ряде случаев несопоставимые данные могут быть приведены к сопоставимому виду путем дополнительных расчетов. В частности, в статистике применяется прием, известный как смыкание рядов динамики. Этот прием позволяет преодолеть несопоставимость данных, возникающую вследствие изменения во времени территориальных границ, круга охватываемых объектов или методологии расчета показателей, и получить единый ряд условно сопоставимых данных за весь период времени.
Пример. Имеются данные об объеме реализации продукции производственного объединения, в которое с 2010 г. по 2013 г. входило 8 предприятий, а с 2013 г. – 9. Необходимо получить единый ряд, который был бы пригоден для характеристики динамики объема реализации продукции за весь рассматриваемый период.
Объем реализации | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
Продукция 8 предприятий, млрд. руб. | 120 | 125 | 130 | 140 | – | – | – |
Продукция 9 предприятий, млрд. руб. | – | – | – | 168 | 180 | 195 | 215 |
Решение
Рассчитываем коэффициент смыкания по данным за 2013 г.:
Уровни 2010–2012 гг. корректируем на коэффициент смыкания:
у2010 = 120?1,2 = 144 млрд. руб.
у2011 = 125?1,2 = 150 млрд. руб.
у2012 = 130?1,2 = 156 млрд. руб.
Объем реализации | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
Сопоставимый ряд, млрд. руб. | 144 | 150 | 156 | 168 | 180 | 195 | 215 |
Другой способ смыкания рядов динамики заключается в том, что уровни года, в котором произошли изменения (в нашем случае 2013 г.) принимаются за 100%, а остальные пересчитываются в процентах по отношению к ним. В результате также получается сомкнутый ряд, но уже не абсолютных, а относительных величин.
Объем реализации | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
Сопоставимый ряд, % | 86 | 89 | 93 | 100 | 107 | 116 | 228 |
Проблема приведения к сопоставимому виду возникает и при параллельном анализе развития во времени экономических показателей отдельных объектов. В таких случаях ряды динамики приводятся к общему основанию, т. е. к одному и тому же периоду или моменту времени, уровень которого принимается за базу сравнения, а все остальные уровни выражаются в виде коэффициентов или в процентах по отношению к нему.
Пример. Имеются данные о динамике производстве цемента на двух предприятиях. Требуется привести ряды динамики к общему основанию
Предприятие | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
Цементстрой | 45,5 | 72,4 | 95,2 | 122,0 | 128,0 |
Промстройматериалы | 56,1 | 65,1 | 66,5 | 65,0 | 67,0 |
Решение.
За базу сравнения (100%) принимается уровень производства цемента 2012 г., а уровни2013–2014 г. выражаются в процентах по отношению к нему.
Предприятие | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
Цементстрой | 100,0 | 159,1 | 209,2 | 268,1 | 281,3 |
Промстройматериалы | 100,0 | 116,0 | 118,5 | 115,9 | 119,4 |
Очевидно, что производство цемента на предприятии «Цементстрой» непрерывно и быстро возрастает в сравнении с предприятием «Промстройматериалы».
3.2 Аналитические показатели ряда динамики
При изучении динамики явлений или процессов для описания интенсивности происходящих изменений используются показатели, получаемые в результате сравнения уровней ряда динамики. К аналитическим показателям ряда динамики относятся: абсолютный прирост, темп (коэффициент) роста, темп (коэффициент) прироста, абсолютное значение одного процента прироста.
При расчете аналитических показателей сравниваемый уровень ряда динамики принято называть отчетным, а уровень, с которым производится сравнение, – базой сравнения. Показатели анализа динамики могут вычисляться с постоянной и переменной базой сравнения. Для расчета показателей динамики с постоянной базой, каждый уровень сравнивается с одним и тем же базисным уровнем. В качестве базисного выбирается начальный уровень в ряду динамики, либо уровень, с которого начинается какой-то новый этап развития явления. Исчисляемые при этом показатели называются базисными. Для расчета показателей динамики с переменной базой каждый последующий уровень ряда сравнивается с предыдущим. Вычисленные таким образом показатели называются цепными.
Аналитические показатели ряда динамики представлены в следующей таблице. При этом использованы следующие условные обозначения:
уi – отчетный уровень i-го периода;
уi–1 – уровень предшествующего периода;
уб – уровень базисного периода.
Таблица – Аналитические показатели ряда динамики
Цепные показатели | Базисные показатели |
1. Абсолютный прирост – абсолютное увеличение (уменьшение) уровня ряда за определенный промежуток времени | |
|
|
Примечание: Сумма последовательных цепных абсолютных приростов равна базисному (общему) приросту за весь рассматриваемый промежуток времени: | |
2. Коэффициент роста показывает, во сколько раз сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение. Темп роста – коэффициент роста, выраженный в %. | |
| |
Примечание: Произведение цепных коэффициентов роста равно общему (за весь период) базисному коэффициенту роста ( | |
3. Коэффициент прироста дает относительную оценка изменения уровня ряда в единицу времени. Темп прироста – коэффициент прироста, выраженный в %-тах, показывает, на сколько %-тов сравниваемый уровень больше уровня, с которым производится сравнение. | |
| |
Примечание: коэффициенты (темпы) прироста могут рассчитываться упрощенным способом:
| |
4. Абсолютное значение 1%-та прироста – «цена» каждого 1%-та прироста
|
), а частное от деления i-го базисного коэффициента роста на предыдущий равно i-му цепному коэффициенту роста (
).
Пример расчета аналитических показателей ряда динамики представлен в следующей таблице:
Таблица – Аналитические показатели ряда динамики производства целлюлозы
Год | Производство целлюлозы, тыс. т У | Абсолютный прирост, тыс. т | Темп роста, тыс. т | Темп прироста, тыс. т | Абсолютное значение 1% прироста, тыс. т | |||
цепные
| базисные
| цепные
| базисные
| цепные | базисные | |||
2011 | 40,0 | – | – | – | 100,0 | – | – | – |
2012 | 43,0 | 3,0 | 3,0 | 107,5 | 107,5 | 7,5 | 7,5 | 0,40 |
2013? | 44,0 | 1,0 | 4,0 | 102,3 | 110,0 | 2,3 | 10,0 | 0,43 |
2014 | 40,0 | –4,0 | – | 90,9 | 100,0 | –9,1 | – | 0,44 |
2015 | 38,0 | –2,0 | –2,0 | 95,0 | 95,0 | –5,0 | –5,0 | 0,40 |
2016 | 41,2 | 3,2 | 1,2 | 108,4 | 103,0 | 8,4 | 3,0 | 0,38 |
? Расчет по 2013 г. представлен ниже:
3.3 Средние показатели ряда динамики
Обобщающая характеристика динамики исследуемого явления определяется при помощи следующих средних показателей: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний коэффициент (темп) роста, средний коэффициент (темп) прироста.
Средний уровень ряда характеризует типичную величину абсолютных уровней ряда.
Средний уровень интервального ряда динамики определяется:
а) при равных интервалах по формуле средней арифметической простой:
,
б) при неравных интервалах по формуле средней арифметической взвешенной:
,
где t – длительность интервалов времени между уровнями ряда.
Средний уровень моментных рядов динамики определяется:
а) для ряда с равноотстоящими датами по формуле средней хронологической простой:
.
б) для ряда с неравноотстоящими датами по формуле средней хронологической взвешенной:
.
Средний абсолютный прирост рассчитывается двумя способами:
а) цепным (исходя из цепных абсолютных приростов):
б) базисным (исходя из общего базисного абсолютного прироста):
.
Средний коэффициент роста определяется:
а) цепным способом (по формуле средней геометрической):
б) базисным способом:
Средний темп роста рассчитывается по формуле
Средний темп (коэффициент) прироста:
, 
Пример расчета средних показателей ряда динамики представлен в следующей таблице:
Таблица – Аналитические и средние показатели ряда динамики производства целлюлозы
Год | Производство целлюлозы, тыс. т У | Абсолютный прирост, тыс. т | Темп роста, тыс. т | Темп прироста, тыс. т | Абсолютное значение 1% прироста, тыс. т | |||
цепные
| базисные
| цепные
| базисные
| цепные | базисные | |||
2011 | 40,0 | – | – | – | 100,0 | – | – | – |
2012 | 43,0 | 3,0 | 3,0 | 107,5 | 107,5 | 7,5 | 7,5 | 0,40 |
2013 | 44,0 | 1,0 | 4,0 | 102,3 | 110,0 | 2,3 | 10,0 | 0,43 |
2014 | 40,0 | –4,0 | – | 90,9 | 100,0 | –9,1 | – | 0,44 |
2015 | 38,0 | –2,0 | –2,0 | 95,0 | 95,0 | –5,0 | –5,0 | 0,40 |
2016 | 41,2 | 3,2 | 1,2 | 108,4 | 103,0 | 8,4 | 3,0 | 0,38 |
В среднем? | 41,0 | 0,24 | – | – | – | – |
? Расчет средних показателей представлен ниже:
3.4 Методы анализа основной тенденции ряда динамики
Основной тенденцией ряда динамики (трендом) называется устойчивое изменение уровня явления во времени, обусловленное влиянием постоянно действующих факторов и свободное от случайных колебаний.
В случаях, когда уровни динамического ряда непрерывно растут или непрерывно снижаются, основная тенденция ряда является очевидной. Однако чаще уровни динамических рядов претерпевают разнонаправленные изменения (то растут, то убывают), и общая тенденция неясна. Для выявления основной тенденции такие ряды динамики подвергаются обработке методами укрупнения интервалов, скользящей средней или аналитического выравнивания.
Укрупнение интервалов основано на увеличении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Одновременно уменьшается количество интервалов.
Пример. Имеются ежемесячные данные о выпуске продукции за отчетный год. Требуется выявить тенденцию изменения выпуска продукции.
Месяц | Объем производства, млрд. руб. | Месяц | Объем производства, млрд. руб. |
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь | 5,1 5,4 5,2 5,3 5,6 5,8 | Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь | 5,6 5,9 6,1 6,0 5,9 6,2 |
Решение
Различные направления изменения уровней ряда затрудняют выводы об основной тенденции производства продукции. Однако если месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный выпуск продукции по кварталам, то тенденция становится очевидной.
Квартал | Объем производства за квартал, млрд. руб. | Объем производства в среднем за месяц, млрд. руб. |
I II III IV | 15,7 16,7 17,6 18,1 | 5,23 5,57 5,87 6,03 |
5,23<5,57<5,87<6,03.
Таким образом, выпуск продукции в отчетном году имел тенденцию к росту.
Метод скользящей средней заключается в следующем. Определяется средний уровень из объема нечетного числа (3, 5 или 7) первых уровней ряда, а затем из такого же числа уровней, но начиная со второго уровня, затем с третьего и так далее. Таким образом, средняя «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один уровень. Недостатком метода является потеря информации, связанная с укорачиванием ряда.
Пример. Имеются данные о динамике производительности труда на предприятии. Требуется выявить тенденцию изменения производительности труда за 10 лет.
Год | Годовая выработка рабочего, т | Год | Годовая выработка рабочего, т |
2007 2008 2009 2010 2011 | 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 | 2012 2013 2014 2015 2016 | 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9 |
Решение.
Произведем сглаживание ряда динамики трехчленными средними
Год | Годовая выработка рабочего, т | Скользящая трехчленная средняя, т |
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 | 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9 | – (15,4+14,0+17,6) / 3=15,7 (14,0+17,6+15,4) / 3=15,4 14,6 14,6 14,5 17,0 15,9 15,9 – |
Ряд, сглаженный трехчленными средними не позволяет выявить тенденцию изменения производительности труда на предприятии. В этой связи целесообразно прибегнуть к использованию пятичленной скользящей средней.
Год | Годовая выработка рабочего, т | Скользящая пятичленная средняя, т |
2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 | 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9 | – – (15,4+14,0+17,6+15,4+10,9)/3=14,7 15,1 15,2 17,1 16,8 17,6 – – |
Ряд, сглаженный пятичленными средними, уже позволяет говорить о тенденции к росту производительности труда на предприятии. Однако этот вывод касается периода с 2009 г. по 2014 г.
Рассмотренные методы дают возможность определить общую тенденцию изменения уровней ряда динамики, но не позволяют получить обобщенную статистическую модель тренда. С целью ее построения применяют метод аналитического выравнивания рядов динамики. Основным содержанием метода является то, что общая тенденция развития представляется как функция времени:
Y = f (t), (7.33)
где Y – уровень динамического ряда, вычисленный по соответствующему уравнению на момент времени t.
Простейшими моделями для отображения социально-экономических процессов являются следующие:
линейная Y = a0 + a1 t;
показательная Y =
;
степенная Y = а0 а1t
парабола Y = а0 + а1t + а2t2
Расчет параметров функции обычно производится методом наименьших квадратов:
? (y–y)2 > min.
Параметры уравнения, удовлетворяющие этому условию, могут быть найдены решением системы нормальных уравнений. Таким образом, выравнивание ряда динамики заключается в замене фактических уровней у плавно изменяющимися теоретическими уровнями, полученными на основе полу уравнения тренда.
При одновременном рассмотрении нескольких альтернативных моделей для окончательного выбора адекватной математической функции используются специальные критерии математической статистики (критерий ?2, Колмогорова – Смирнова и другие).
Выявление и характеристика трендов и моделей взаимосвязи создают базу для прогнозирования, т. е. для определения ориентировочных размеров явлений в будущем. Для этого используют метод экстраполяции, предполагающий подстановку в уравнение тренда значений t за пределами исследуемого ряда. Поскольку же в действительности тенденция развития не остается неизменной, то данные, получаемые путем экстраполяции ряда, рассматриваются как предварительные вероятностные оценки. Для составления окончательного прогноза, как правило, привлекается дополнительная информация, не содержащаяся в динамическом ряду.
3.5. Методы изучения сезонных колебаний
При сравнении месячных и квартальных данных многих социально-экономических явлений часто обнаруживаются периодические колебания, возникающие под влиянием смены времени года. Они являются результатом влияния природно-климатических условий, действия общеэкономических, а также других многочисленных и разнообразных факторов, которые часто являются регулируемыми.
В статистике периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период, равный годовому промежутку, носят название сезонных колебаний или сезонной волны, а динамический ряд в этом случае называется сезонным рядом динамики.
Сезонные колебания наблюдаются во многих отраслях экономики (сельское хозяйство, строительство, транспорт, промышленность строительных материалов, энергетика и др.). В ряде случаев они отрицательно влияют на результаты производственной деятельности. Поэтому встает вопрос о регулировании сезонных изменений. В основе этого регулирования должно лежать исследование сезонных колебаний.
В статистике существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний. Самый простой из них предполагает расчет индексов сезонности и построение сезонной волны. Для того чтобы выявить устойчивую сезонную волну, на которой не отражались бы случайные условия одного года, индексы сезонных колебаний вычисляются по данным за несколько лет (не менее трех).
Если ряд динамики не содержит ярко выраженной тенденции в развитии, то индексы сезонности вычисляются непосредственно по эмпирическим данным без их предварительного выравнивания. При этом используется следующий алгоритм:
– рассчитывается средний уровень каждого месяца по данным за несколько лет;
– вычисляется среднемесячный уровень для ряда динамики в целом;
– определяются индексы сезонности как процентные отношения средних для каждого месяца к общему среднемесячному уровню ряда:
.
В случае, когда динамический ряд проявляют тенденцию к росту или снижению, фактические (эмпирические) уровни сопоставляются с теоретическими (полученными на основе аналитического выравнивания по тренду) и рассчитываются индексы сезонности по формуле:
.
Пример. Имеются помесячные данные об объеме продаж предприятием стеновых материалов, млн. шт. условного кирпича. Требуется рассчитать индексы сезонности.
Месяц | Объем продаж, млн. шт. | ||
2014 г. | 2015 г. | 2016 г. | |
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Октябрь Ноябрь Декабрь | 10,2 15,2 17,3 19,4 21,2 26,1 28,3 21,4 22,1 14,6 9,5 12,4 | 9,7 16,1 14,8 22,7 25,4 28,2 25,8 23,3 20,7 15,2 8,6 12,9 | 11,8 14,4 15,6 16,5 29,1 25,2 23,5 23,6 18,2 16,3 13,3 14,6 |
Итого | 217,7 | 223,4 | 221,1 |
В среднем | 18,14 | 18,61 | 18,51 |
Решение.
Ряд динамики не обнаруживает устойчивой тенденции к росту, поэтому индексы сезонности рассчитаем непосредственно по эмпирическим данным, в частности, определим в графе 5 средний уровень каждого месяца (января, февраля и т. д.) по данным за три года, вычислим среднемесячный уровень для ряда динамики (18,42 млн. шт.), определим индексы сезонности (гр.6).
Месяц | Объем продаж, млн. шт. | Is, % | |||
2014 г. | 2015 г. | 2016 г. | В среднем за три года | ||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Июль Август Октябрь Ноябрь Декабрь | 10,2 15,2 17,3 19,4 21,2 26,1 28,3 21,4 22,1 14,6 9,5 12,4 | 9,7 16,1 14,8 22,7 25,4 28,2 25,8 23,3 20,7 15,2 8,6 12,9 | 11,8 14,4 15,6 16,5 29,1 25,2 23,5 23,6 18,2 16,3 13,3 14,6 | (10,2+9,7+11,8)/3=10,6 15,2 15,9 19,5 25,2 26,5 25,6 22,8 20,3 15,4 10,5 13,3 | 10,6/18,42=57,6 82,5 86,3 105,9 136,8 143,9 140,6 123,8 110,2 83,6 57,0 72,2 |
Итого | 217,7 | 223,4 | 221,1 | 221,1 | 1200,4 |
В среднем | 18,14 | 18,61 | 18,51 | 18,42 | 100,0 |
