ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ

Дао Дык Ань, Нгуен Ван Ву

Томский политехнический университет, г. Томск

Научный руководитель –


Поверхность , у которой в каждой точке определена касательная плоскость и нормаль, называется гладкой, eсли положение касательной плоскости непрерывно меняется вместе с непрерывным перемещением по поверхности точки касания.

Рис. 1.

Если при перемещении вектора нормали по контуру

    Направление вектора неизменилось, то поверхность называется двухсторонней. Направление вектора изменилось при обходе , то поверхность называется односторонней.

Поверхность , у которой выбрана одна из сторон (внутреняя внешняя) называется ориентированной.

Пусть задана непрерывная функция на некоторой гладкой ориентированной поверхности , заданная уравнением

Разобьем поверхность  сетью производных кривых на элементарные части площадью

       В каждой части произвольным образом выберем точку

вычислим значение функции в этой точке и умножим на площадь соответствующей части . Составим сумму:

Рис. 2.

Сумма (1) называется интегральной суммой  для функции поверхности

    Определение: Поверхностным интегралом I рода (по площади поверхности от функции по поверхности называется предел интегральной суммы (1) при где - наибольщей из диаметров областей Обозначение:

Свойства поверхностных интегралов:

Физические приложения поверхностных интегралов

Поверхностные интегралы применяются во многих прикладных расчетах. В частности, с их помощью вычисляются

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?
    Масса оболочки; Центр масс и моменты инерции оболочки; Сила притяжения и сила давления; Поток жидкости и вещества через поверхность; Электрический заряд, распределенный по поверхности; Электрические поля (теорема Гаусса в электростатике).

Масса оболочки

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности   . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле

Центр масс и моменты инерции оболочки

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

где

? так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей , соответственно. Моменты инерции оболочки относительно осей выражаются, соответственно, формулами

Моменты инерции оболочки относительно плоскостей определяются формулами

Сила притяжения поверхности

Пусть задана поверхность S, а в точке , не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рис 1).

       Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

где, G - гравитационная постоянная,   ? функция плотности.

  Рис. 3.

Сила давления

Предположим, что поверхность S задана вектором и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т. д.). Полная сила, созданная давлением, находится с помощью поверхностного интеграла по формуле

Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

где ? единичный нормальный вектор к поверхности S

Поток жидкости и поток вещества

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости , то поток через поверхность   называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность в единицу времени и выражается формулой

Аналогично, поток векторного поля   , где ? плотность, называется потоком вещества и определяется выражением

Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность в единицу времени.

Заряд поверхности

Пусть величина является плотностью распределения заряда по поверхности. Тогда полный заряд, распределенный по проводящей поверхности   выражается формулой

Теорема Гаусса

Поток электрического смещения через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности:

где,,   ? напряженность электрического поля,  ? относительная диэлектрическая проницаемость среды,  ? диэлектрическая проницаемость вакуума.

Теорема Гаусса применима к любым замкнутым поверхностям. В случае поверхности с достаточной симметрией, данная теорема упрощает вычисление электрического поля. Теорему Гаусса рассматривают как один из основных постулатов теории электричества. Она входит в систему основных уравнений Максвелла.

       Пример: Оценить силу давления, действующую на дамбу, схематически показанную на рисунке 2 и представляющую собой резервуар воды шириной и высотой .

Решение

       В условиях гидростатического равновесия давление на поверхность дамбы зависит от координаты z в соответствии с формулой 

где ? плотность воды, ? ускорение свободного падения. Полная сила давления, действующая на плотину, будет равна

Рис.4.

Вектор   показывает направление действия силы   . Абсолютное значение силы равно

Список литературы

Поверхностные интегралы первого рода [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www. math24.ru/surface-integrals-of-first-kind. html Интегралы по поверхности 1 и 2 рода[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://us. chem. /Lection/Math4/bilet12/bilet12.htm Поверхностные интегралы[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ru. wikipedia. org/wiki/Поверхностные_интегралы Ti?ch phan ma?t loa?i mo?t[Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www. ctec. tvu. edu. vn/ttkhai/TCC/35_Tich_phan_mat_loai_I. htm