ФИТАТ 1, У. Умбетов2, 1, 2
A. Zh. Seitmuratov1, U. Umbetov2, L. S.Kainbaeva1
1Кызылординский Государственный Университет им. Коркыт Ата г. Кызылорда. Казахстан
2Таразский государственный университет им. г. Тараз. Казахстан
1The Korkyt ATA Kyzylorda State University. Kyzylorda. Kazakhstan
2The M. X.Dulati Taraz state University. Taraz. Kazakhstan
УДК 622.831,539.3(043.3)
UDS 622.831,539.3(043.3)
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИН СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
THE EQUATION OF OSCILLATIONS OF A PIECEWISE-HOMOGENEOUS PLATES OF BUILDING STRUCTURES
Т?йін Ма?алада ?рт?рлі шеттік тербеліс есебі бойынша ??рылыс конструкцияларында?ы ?атпарлы ?ала?шалар тербелісіні? теориясы ?арастырыл?ан. ?ала?шалар тербелісін зеріттеу кезінде на?ты ?ш ?лшемді есеп ?ала?шаны? орта??ы жазы?ты?ы ?шін ?арапайым екі ?лшемді т?ріне ауыстырылады, себебі б?л шарт сырт?ы к?штерді? ?серіне шек ?ояды.
Abstract: In this work develops a theory of vibrations of laminated plates of building structures, strictly justified by the staging of various boundary value problems of oscillation. In the study of oscillations of plates accurate three-dimensional problem is replaced by a simpler, two-dimensional points of median plane of the plate, which imposes limitations on the external conditions.
Ключевые слова: Пластинка; конструкция; колебание; реология; приближенные уравнение; кусочно-однородная пластинка; продольное колебание; поперечное колебание.
Keywords: Plate; design; oscillation; rheology; approximate equation; piecewise-homogeneous plate; longitudinal oscillation; transverse oscillation.
Построение общих и приближенных уравнений колебания различного вида плоских элементов представляет актуальную проблему в разработке теоретических основ расчета строительных конструкций и строительства в целом. К таким проблемам относятся задачи совершенствования моделей нестационарного характера конструкций и их элементов, материалы которых проявляют сложные механические, реологические свойства, присущие различным строительным конструкциям при влиянии различных внешних факторов.
Пусть имеется трехслойная безграничная в плане пластинка из вязкоупругого материала, причем срединная составляющая толщины 
, а верхняя и нижняя составляющие толщиной 
и состоят из одного и того же материала.
При формулировке граничных условий будем предполагать, что в плоскости раздела неоднородности слои находятся в жестком контакте, а верхняя и нижняя поверхности плоские.
Решения уравнений движения материала будем искать в виде
(1 )
Подставляя (1) в уравнения движения материала слоев, для 
и 
получаем уравнения
(2) где
(3)
при этом 
и 
преобразованные по Лапласу операторы 
и 
.
Общие решения уравнений (2) строятся обычным способом и они имеют вид
(4)
где 
равны
(5)
Имея общие решения (4), для преобразованных перемещений 
точек слоев получаем выражения:
(6)
при этом гиперболические функции в (4) представлялись в виде степенных рядов по аргументу.
Примечание. Представления (1) для потенциалов и их подстановка в уравнения движения материала справедливы лишь в том случае, если 
, 
пренебрежимо малы вне области
(7)
что будет выполнено, если внешние усилия не содержат высокочастотных составляющих, что будет предполагаться в дальнейшем и физически объяснимо.
В классической постановке за искомые функции берутся перемещения и деформации точек срединной плоскости 
.
Аналогично этому вместо постоянных интегрирования 
в решении для внутреннего и внешних слоев введем неизвестные
(8)
при этом 
являются преобразованными смещениями точек плоскости 
, а 
преобразованные величины деформации смещений этих точек в направлении 
в тех же плоскостях. Переходя от 
к 
с учетом условия 
, для 
получим выражения
(9)
Где
Обращая выражения (9) по 
для истинных смещений 
точек слоев получим выражения
(10)
где операторы 
, 
равны
(11)
при этом 
и 
операторы описывают распространение плоских продольных и поперечных волн в плоскостях 
.
Не трудно видеть, что выражения (10) для смещений получены лишь при решении уравнений движения с учетом нулевых начальных условий и они являются общими решениями задачи Коши, причем выражены через шесть произвольных функций 
для каждого из слоев. Зная выражения для смещений через произвольные функции из зависимости между 
и 
в слоях примем в виде больцмановских интегральных соотношений получаем аналогичные выражения для напряжений.
(12)
Среди двенадцати неизвестных, в общем случае независимых шесть. В качестве основных неизвестных возьмем неизвестные для внутреннего слоя и тогда из граничных условий
при 
и на поверхностях контактов
(13)
при 
начальные условия в задаче будем считать нулевыми получим зависимости 
.
(14)
Для нахождения шести неизвестных функций, входящих в выражения (10) с условиями (14), имеем граничные условия на поверхности слоистой пластинки
(15)
Подставляя (13) в граничные условия (15), получим систему интегро-дифференциальных уравнений для нахождения всех неизвестных функций.
Полученная система будет описывать, в общем случае, колебания такой слоистой среды или слоистой (кусочно-однородной) пластинки.
В общем случае трехслойной пластинки выкладки для вывода общих и приближенных уравнений ее колебания весьма громоздки, однако для такой пластинки имеют место как чисто продольное, так и чисто поперечное колебание.
ЛИТЕРАТУРА
, Динамическая теория устойчивости стержней. Труды Российско-Польского семинара «Теоретические основы строительства», Варшава, 1995, с.63-69. Приближенный метод решения динамических задач для вязкоупругих сред. – ПММ, т.43, № 1, 1979, с.133-137. Метод декомпозиции в теории колебания двухслойной пластинки в строительных конструкциях// ПГС. -2006. -№3. - М. - С.31-32. Определение частоты собственных колебаний пластинки // Вестник КазНУ, серия математика, механика, информатика -2010. -№ 4 (67). , С28.Моделирование и прогнозирование динамики многокомпонентной деформируемой среды. Монография-Кызылорда-Тараз:/КГУ им. Коркыт-ата, ТарГУ им. Дулати,2014.-232с , Определение зоны взаимодействия карьера с подземными камерами в условиях плоской деформации // Вестник Академии наук РК Серия физико –математический 1-2014 стр.111-109] , Методика расчета напряженно-деформированного состояния горного массива вокруг открытых и подземных выработок// НАУКА И МИР Международный научный журнал, № 3 (7), 2014, Том 1 ISSN 2308-4804, ИФ-0.325 стр.200-208
REFERENCES
Filippov? I. G., S. I. Filippov, 1995. Dynamic stability theory of rods. Proceedings of the Russian-Polish seminar. Theoretical Foundations of construction. Warsaw, pp.63 -69. Filippov, I. G., 1979. An approximate method for solving dynamic viscoelastic media. – PMM, 43(1): 133 -137. A. Zh. Seitmuratov Method of decouplig in the theory of oscillation of double-layer plate in the building constructions. - 2006. -№3. - М. - С.31-32. A. Zh. Seitmuratov Determination of frequency of eigentones of plate Announcer Treasury, series of mathematician, mechanic, informatics - 2010. -№ 4 (67). A. Zh. Seitmuratov, U. U.Umbetov. С28.Design and prognostication of dynamics of the multicomponent deformed environment. Monografia: The Korkyt Ata Kyzylorda State University, Taraz State University Named After M. Kh. Dulaty, Taraz,, 2014.-232с A. Zh. Seitmuratov, I. U. Makhambayeva Determination of zone of cooperation of quarry with underground chambers in the conditions of flat deformation // Announcer of Academy of sciences of RK Series of physics - mathematical 1-2014 p.111-109
A. Zh. Seitmuratov, I. U. Makhambayeva Methodology of calculation of the tensely-deformed state of mountain range round the open and underground making// SCIENCE And WORLD the International scientific magazine, № 3 (7), 2014, Tom 1 ISSN 2308-4804, IF - 0.325 p. 200-208
