Уравнение движения Ньютона – второй закон Ньютона. Уравнение движения Ньютона - самый важный закон физики. Именно с него начинается (а собственно, им и заканчивается) решение любой задачи на движение.

Если точка массы под действием силы движется вдоль прямой, то для нее выполняется второй закон Ньютона

Здесь - координата точки, а - ее ускорение.

Точка сверху используется в механике для обозначения производной по времени. Так что - это скорость точки и - это естественное обозначение для ускорения, а именно . Используя эти обозначения, мы можем переписать второй закон Ньютона в виде

Здесь мы еще уточнили, что силы, которые действуют на точку, могут зависеть от ее положения и скорости (бывает еще и от времени).

Для частицы, движущейся в плоскости, уравнения движения Ньютона выглядят аналогичным образом

Здесь - координаты движущейся точки, - ее скорость и - сила, действующая на частицу. Мы увидим, что система этих уравнений позволяет построить траекторию для любой движущейся точки. Как только будет задана сила , можно будет браться за построение любой соответствующей траектории.

Метод Эйлера. Существует универсальный численный метод построения траекторий частицы, для которой известны уравнения движения Ньютона (то есть известны действующие на нее силы)

Мы задаем начальное положение частицы и ее начальную скорость , выбираем маленький промежуток времени и начинаем по индукции вычислять те же самые величины в следующие моменты времени . Вот эти формулы для вычисления

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

В результате получим последовательные точки , лежащие на траектории частицы. Поскольку промежуток времени мал, эти точки близки друг к другу. Если вывести их на экран компьютера, то они сольются в непрерывную траекторию.

Давайте посмотрим, почему метод Эйлера работает правильно. Из написанного выше соотношения для координат имеем


но это просто следует из определения скорости – новая координата получается из старой добавлением скорости, умноженной на приращение времени.

Для координат скорости имеем


но это в свою очередь следует из закона движения Ньютона – и являются координатами ускорения, и из определения самого ускорения – новая скорость получается из старой добавлением ускорения, умноженного на приращение времени.

Существуют другие, более точные методы построения траекторий, но метод Эйлера настолько прост и красив, что его нужно выучить в первую очередь.

Как это делает Mathcad. Mathcad как раз использует эти более точные методы. За решение систем дифференциальных уравнение в  Mathcad отвечает оператор Odesolve. Для решения уравнений движения Ньютона в поле силы

необходимо задать начальные условия, то есть векторы начального положения и начальной скорости

определить промежуток времени , для которого будет строиться траектория движения и задать количество интервалов , на которое при решении будет разбит этот промежуток времени. После задания всех этих величин в Mathcad вычисление траектории запишется следующим образом

В графическом окне появится отрезок траектории движущегося тела.

Список задач для РГР. В каждой из задач требуется построить несколько траекторий точки, движущейся под действием некоторых сил. Следует использовать и метод Эйлера и процедуру Odesolve. В случае если известно точное решение задачи, нужно будет сравнить полученные численные результаты с точным решением. Используя полученные численные результаты, нужно будет еще проследить за изменением полной энергии частицы.

Упругие силы – притягивающий центр

Упругие силы и сила сопротивления

Артем Двухчастотный маятник

Движение в однородном гравитационном поле
Баллистическая траектория

Екатерина Богданова Притягивающий гравитационный центр

Чингизхан Притягивающий гравитационный центр и сила сопротивления

Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле (сила Лоренца)

Антон Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле с учетом сопротивления

Александр Движение заряженной частицы в скрещенных полях
Движение заряженной частицы в скрещенных полях c учетом сопротивления

Модель Жуковского – фугоидное движение (движение без сопротивления)

Глеб Модель Жуковского с сопротивлением

Движение вращающегося тела (сила Магнуса)

Екатерина Боблак Движение вращающегося тела с учетом сопротивления поступательному и вращательному движению

Движение двух тел
Движение трех тел