Задача оптимального управления теплообменником для стабилизации температурного режима на входе в ректификационную колонну воздухоразделительной установки

УДК 539.3                                                                        Черновик

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ТЕПЛООБМЕННИКОМ ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ТЕМПЕРАТУРНОГО РЕЖИМА НА ВХОДЕ В РЕКТИФИКАЦИОННУЮ КОЛОННУ ВОЗДУХОРАЗДЕЛИТЕЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

© 2016.  ,

Поставлена задача оптимального управления теплообменным аппаратом для стабилизации температурного режима ректификационной колонны воздухоразделительной установки для металлургии, химического производства, медицины и др. Получена общая математическая модель нестационарных тепловых и гидродинамических процессов противоточного промышленного теплообменного аппарата. Для полученной модели сформулирована задача её идентификации посредством нахождения оптимального коэффициента теплопередачи между противоточными теплоносителями.

Ключевые слова: теплообменный аппарат; теплообменник; оптимальное управление; идентификация; теплоноситель; ректификация.

Введение. Воздухоразделительные установки обеспечивают получение кислорода, водорода и инертных газов из воздуха на основе ректификации для дальнейшего использования в различных производствах, таких как металлургия, химическое производство, медицина и др.

Для нормальной работы ректификационной колонны, необходимо подавать воздух, предварительно охлаждённый до некоторой номинальной температуры . Обычно К. Охлаждение осуществляется в теплообменных аппаратах, как правило, противоточных, при помощи жидкого кислорода, имеющего температуру около К. Жидкий кислород отбирают из части результатов ректификации и направляют в теплообменник.

Для качественной работы ректификационной колонны в любое время суток и года, экономии энергоресурсов и обеспечения сохранности оборудования в случае непредвиденных сбоев, необходимо адекватное управление теплообменником для удержания входного потока воздуха в колонну при температуре .

На рис. 1 приведена часть технологической схемы воздухоразделительной установки. Воздух (сплошная жирная линия) проходит основной теплообменник E3118, после которого поступает в нижнюю ректификационную колонну T3211. После процесса разделения воздуха из верхней колонны T3212 отбирается некоторое количество жидкого кислорода (пунктирная жирная линия) и посредством управляемого насоса Р3568 подаётся в основной теплообменник E3118 для противоточного охлаждения воздуха.

Воздух, подаваемый в колонну T3211, должен иметь температуру максимально приближенную к при возможных термогидродинамических изменениях входного потока воздуха в теплообменный аппарат. Удержание данной температуры должно обеспечиваться правильной работой насоса Р3568. Таким образом, мы приходим к задаче синтеза оптимального управления тепловыми процессами в теплообменнике E3118 посредством регулировки расхода охладителя в Р3568.

Для решения поставленной задачи нам потребуется, во-первых, сформулировать математическую модель нестационарных тепловых и гидродинамических процессов «типичного» промышленного противоточного теплообменного аппарата.

Во-вторых, поскольку в разных воздухоразделительных установках присутствуют разные теплообменники, то учесть заранее их внутренние особенности невозможно, и полученная нами общая математическая модель потребует дальнейшей идентификации для конкретной воздухоразделительной установки.

В-третьих, после решения задачи идентификации модели, необходимо приступать к синтезу оптимального управления.

Рисунок 1. Схема воздухоразделительной установки.

В данной работе формулируется математическая модель тепломассопереноса для противоточного теплообменника. А также формулируется задача идентификации для полученной модели и задача синтеза оптимального управления на основе идентифицированной модели.

Моделирование тепловых процессов в противоточном теплообменнике. Уравнение теплопереноса в одномерном нестационарном случае описывается следующим дифференциальным уравнением (1; 2):

,

((1)

где – температура, – скорость потока, – теплопроводность, – удельная теплоемкость при постоянном давлении, – плотность теплоносителя, – плотность внешнего теплового потока.

На рис. 2 показана принципиальная схема работы противоточного теплообменника для ректификационной колонны воздухоразделительных установок. Применим уравнение (1) для моделирования процессов теплопереноса в таком теплообменнике. Здесь поток состоит из бокового теплового потока через разделительную стенку от встречного теплоносителя и возможной скрытой теплоты парообразования в случае фазовых переходов. Диффузионным переносом тепла в подобных установках будем пренебрегать, поскольку он несущественен по сравнению с конвективным переносом.

Рисунок 2 – Принципиальная схема работы противоточного теплообменника

Уравнение (1) для двух противоточных сред в рассматриваемом теплообменнике принимает вид:

(2)

где и температуры первого и второго теплоносителя (соответственно – воздух и жидкий кислород), движущийся со скоростями и , – коэффициент теплопередачи между теплоносителями, – скрытая теплота парообразования, которая появляется при закипании жидкого кислорода. Система (2) предполагает, что коэффициент одинаков для обеих сред, а стенка, разделяющая потоки, имеет достаточно малую толщину, такую, что можно пренебречь временем передачи тепла между теплоносителями.

Начальные и граничные условия для уравнений (2) имеют вид:

		(3)

Для решения системы (2), (3) нам необходимо знать скорости , каждой среды и их плотности , , т. е. система (2), (3) должна дополняться уравнениями движения и состояния обеих сред. Рассмотрим данные уравнения.

На рис. 3 показана переходная характеристика изменения температуры охладителя на выходе из типичного теплообменника (кислородный цех Енакиевского металлургического завода) для случая значительного ступенчатого падения расхода воздуха, нагнетаемого в теплообменник. Мы видим, что тепловой переходной процесс до возвращения в установившееся состояние занимает более 10 с. С другой стороны, переходные гидродинамические процессы сопровождаются нестационарными волновыми течениями теплоносителей со скоростями волн равными скорости звука в соответствующих средах. Время, за которое волна успевает один раз пройти через теплообменник длиной около десяти метров составляет порядка 10-2 с. Это означает, что гидродинамические волны успевают тысячи раз обойти теплообменный аппарат до стабилизации теплового процесса. Естественно, за это время все волны в реальных теплоносителях затухают.

Рисунок 3 – Переходная характеристика типичного теплообменника

Поэтому далее, при рассмотрении промышленных теплообменников, мы будем пренебрегать волновыми процессами (переносом импульса), а весь гидродинамический переходной процесс будем рассматривать как упорядоченное множество из нескольких установившихся течений. Требование к формированию такого множества – это временная сетка состояний течения должна иметь шаг , на котором волновые процессы полностью затухают. В нашем примере можно принять .

При отсутствии волновых процессов давление , нагнетаемое воздушным вентилятором и – жидкостным насосом  на каждом «установившемся» временном шаге будем считать слабо зависящим от , т. е. будем допускать небольшие равномерно распределённые потери напора на преодоление гидродинамического сопротивления:

, .

((4)

Здесь и известные входные граничные значения давлений в воздухе и жидком кислороде, а и соответствующие суммарные потери напоров. При входных напорах нагнетательных установок в 20-30 атмосфер, обычно, потери заранее известны и составляют менее одной атмосферы.

В то же время, изменением плотности потоков вдоль теплообменника пренебрегать нельзя (3), поскольку плотность теплоносителей существенно зависит от их температуры, особенно при наличии фазовых переходов. Поэтому здесь мы будем привлекать уравнение неразрывности , т. е. для каждого j-состояния в наборе установившихся течений двух сред получаем:

,

(5)

Где , – набор констант, которые могут определяться из граничных условий:, .

Поскольку рассматриваемые среды не являются идеальными газами, могут менять фазовое состояние и находиться в относительно широком диапазоне температур при высоком давлении, то для расчёта плотностей теплоносителей будем привлекать, например, уравнения состояния Битти-Бриджмена (4): , где , , , где – молярный объем, – универсальная газовая постоянная, – эмпирические постоянные для моля вещества. При этом плотность будем рассчитывать через найденный объем и молярную массу теплоносителя:

,  ,

( (6)

Таким образом, уравнения (2)-(6) образуют математическую модель для расчёта основных параметров тепломассопереноса рассматриваемой схемы противоточного промышленного теплообменника. Зная распределение температур в теплоносителях на некотором временном слое , мы можем из (4), (6) найти распределение плотностей теплоносителей, далее из (5) найти распределения скоростей потоков теплоносителей, а из (2), (3) найти новые значения температур теплоносителей в момент +1.

Задача идентификации параметров теплообменника. Математическая модель (2)-(6) содержит в уравнении (2) неизвестный коэффициент теплопередачи . В нашем случае – это модельный, а не физический коэффициент, включающий в себя погрешности всех допущений модели: неопределённость точной геометрии теплообменника, значительность толщины разделительной стенки и отсутствие учёта в ней тепловых процессов, приближённое гидродинамическое моделирование и т. д. Очевидно, что коэффициент для каждой конкретной установки может быть найден только с использованием методов идентификации на основе экспериментальных данных, например, по результатам измерений температуры потоков (5; 6).

Сформулируем задачу идентификации. Необходимо найти коэффициент модели (2)-(6) доставляющий минимум функционалу:

,

(7)

где – критерий качества идентификации, который в нашем случае представляет собой неявную одномерную функцию модельного коэффициента теплопередачи , – экспериментально наблюдаемая температура воздуха в теплообменнике, – время наблюдений за температурой. Коэффициент , найденный из условия минимума , будет содержать в себе все погрешности математической модели (2)-(6) таким образом, чтобы температура, рассчитываемая в дальнейшем по этой модели, была максимально приближена к реальной рабочей температуре теплообменника.

Функционал (7) может быть «облегчён». Расхождение модельной и реальной температур можно контролировать только на выходе охлаждённого воздуха из теплообменника. В этом случае критерий качества идентификации принимает вид:

(8)

Для численного решения задачи идентификации могут применяться различные методы одномерной минимизации (7; 8; 9).

Задача оптимального управления теплообменником. Для стабилизации температурного режима на входе в ректификационную колонну воздухоразделительной установки (см. рис. 1) необходимо «правильно» управлять насосом нагнетания жидкого кислорода в теплообменник (см. рис. 2). Правильная работа насоса должна обеспечить требуемую температуру воздуха на выходе их теплообменника независимо от температуры атмосферного воздуха и возможной некачественной работы вентилятора на входе в теплообменник. Это означает, что нашим управлением будет скорость подачи охладителя в теплообменник, которая фигурирует в граничном условии уравнений (5). Таким образом, мы получаем множество управляющих воздействий , определяющих температуру воздуха для ректификационной колонны в граничном условии (5):

.

(9)

Задача стабилизации температурного режима на входе в ректификационную колонну воздухоразделительной установки будет формулироваться следующим образом. Необходимо найти оптимальное управление модели (2)-(6), (9) которое доставляет минимум функционалу

,

(10)

где – требуемая номинальная температура воздуха на входе в ректификационную колонну воздухоразделительной установки.

Если решение уравнений теплопереноса (2) аппроксимировать конечными разностями на тех же временных слоях , что и решение гидродинамической задачи, что естественно в полученной математической модели теплообменника, то целевой функционал (10) примет вид:

,

(11)

Для решения подобной задачи оптимизации могут применяться, например, принцип максимума Понтрягина (10), методы динамического программирования (11; 10) или прямая минимизация целевого функционала (12; 13; 14; 7).

Список литературы

1. Девятов, переходных процессов в технологических аппаратах с точки зрения задач управления. – Новосибирск : Наука, 1964. – 324 с.

2. Девятов, и методы анализа управляемых распределенных процессов / , . – Новосибирск : Наука, 1983. – 310 с.

3. Ландау, Л. Д., Лифшиц, физика гидродинамика. 3-е изд., испр. – М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – 736 c..

4. Праусниц Дж., войства газов и жидкостей: Справочное пособие. [перев.] Пер. с англ. под ред. . 3-е. Л : Химия, 1982. стр. 592.

5. Идентификация теплофизических параметров в виде полиномов, зависящих от температуры. , , 1, 2009 г., Технічна теплофізика та промислова теплоенергетика, стр. 193-199. ISSN 2077-1134.

6. , Развитие теоретических основ оптимизации и идентификации параметров в слитках и отливках. Донецк : ІПШІ - "Наука і освіта", 2008. стр. 128. ISBN 978-966-7829-23-0.

7. Ф. П., Васильев. Методы оптимизации. М : МЦНМО, 2011. стр. 304. ISBN 978-5-94057-708-9.

8. C. T., Kelly. Iteretive Methods for Optimization. s. l. : SIAM, 1999. ISBN 0-89871-433--8.

9. Nocedal, Jorge. Numerical Optimization. New Yurk : Springer-Verlag, 1999. ISBN 0-387-98793-2.

10. Т. К., Сиразетдинов. Оптимизация систем с распределенными параметрами. М : Наука, 1977.

11. А. И., Егоров. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М : Наука, 1978.

12. Эффективный метод оптимизации физических процессов. В. К., Толстых. 2, 2003 г., Инженерно-физический журнал, Т. 76, стр. 424-427. ISSN 0021-0285.

13. Optimality Conditions and Algorithms for Direct Optimizing the Partial Differential Equations. V. K., Tolstykh. 7, s. l. : Scientific Research Publishing, 2012, Engineering, Vol. 4, pp. 390-393. ISSN 1947-394X.

14. Optimization for Systems Governed by Partial Differential Equations. V. K., Tolstykh. 3, 2012, The Electronic International Journal "Advanced Modeling and Optimization", Vol. 14, pp. 703-716. ISSN 1841-4311.

TITLE OF ARTICLE

The optimal control problem of a heat exchanger for stabilizing of a temperature mode on the input into the rectification column of air separation unit

V. K. Tolstykh, K. A. Pshenychnyi

The task of optimal control of a heat exchanger to stabilize the temperature of the rectification column air separation plant for metallurgy, chemical industry, medicine, and others.

  Keywords: heat exchanger; mathematical model; optimal control; identification; coolant; rectification.

Сведения об авторах