Дополнительные построения

Математика, 10 класс

Дополнительные построения.

При доказательстве теорем элементарной геометрии и решении геометрических задач часто используются дополнительные построения.

В планиметрии существует целый класс таких задач, к которым традиционные методы (метод цепочек равных треугольников, метод геометрических преобразований, векторный метод и др.) либо вовсе не применимы, либо дают сложные и громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода задачи помогает введение в чертеж дополнительных  линий – дополнительное построение. В одних случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других они не так очевидны и требуют от решающего достаточно большого опыта, изобретательности, геометрической интуиции.
Так, чертеж данной в задаче фигуры можно достраивать до фигуры другого типа, можно с многоугольной фигурой связывать окружность, а можно целью дополнительного построения ставить выделение на чертеже равных, равновеликих или подобных фигур.
Суть метода дополнительных построений заключается в том, что чертеж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

  Некоторые дополнительные построения являются типовыми, например, медиану треугольника часто бывает полезно продлить на ее длину, а биссектрису продлить до пересечения с описанной окружностью. Также часто хорошим построением является общая хорда двух пересекающихся окружностей. В некоторых случаях имеет смысл отложить отрезок или угол, равный данному, в другом месте чертежа, особенно, когда в условии задачи фигурирует сумма или разность отрезков, либо углов (метод «спрямления»). Такие же методы «работают» и при решении задач на вычисление и доказательство. Иногда нужно придумать другие дополнительные построения, близкие к уже перечисленным.

Для начала рассмотрим некоторые

дополнительные построения, являющиеся точками и отрезками:

  Продлить отрезки до пересечения

Задача 1. Парус имеет вид четырехугольника ABCD, углы A, C и D которого равны 45°. Найдите площадь паруса, если BD = 4 м.        

Решение. По условию  . Продлим отрезок СВ  до пересечения со стороной AD  в точке Н. Рассмотрим треугольник CHD: т. к. , то , а значит треугольники CHD и АВН – прямоугольные и равнобедренные. Сумма их площадей равна площади паруса. Пусть , тогда . , . Но по теореме Пифагора для треугольника BHD . Тогда площадь паруса равна .

Задача 2. В параллелограмме АВСD точки Е и F – середины сторон ВС и CD соответственно. Могут ли лучи АЕ и AF делить угол ВАD на три равные части?

Решение. Продлим  отрезок EF до пересечения с прямыми АВ и CD в точках Р и Q соответственно. Так как BE = EC (по условию), ?PBE = ?ECF (АВ || CD) и ?BEP = ?CEF, то равны треугольники BEP и CEF. Аналогично доказывается равенство треугольников DFQ  и CFE. Следовательно,
РЕ = EF = FQ.

  Предположим, что равны углы ВАЕ, ЕАF и FAD. Тогда, из доказанного равенства получим, что АЕ – биссектриса и медиана треугольника PAF, а AF – биссектриса и медиана треугольника EAQ, то есть каждый из этих отрезков является также и высотой треугольника. Таким образом, из точки А проведены два различных перпендикуляра к прямой EF, что невозможно.

Провести медиану прямого угла – она, как известно, равна половине гипотенузы

Задача 3. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника с острым углом в 15? равна одной восьмой квадрата гипотенузы.

Решение. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник, ?C = 90?, ?A = 15?, AB = c. Проведём медиану CM. Тогда CM = BM = AM = 1/2AB=c/2.

?BMC = ?A + ?ACM = 15? + 15? = 30?.Пусть CD — высота треугольника BCM. Тогда из прямоугольного треугольника CDM находим, что CD =1/2CM=c/4

Следовательно, S?ABC = 1/2ABxCD=c/8.

Удвоить медиану

Задача 4. В треугольнике АВС медиана ВМ перпендикулярна стороне ВС, АВ:ВС=2:1. Найдите угол АВС треугольника.

Решение. Удвоим медиану ВМ, получим точку D. Из равенства треугольников АМВ и CMD следует, что АВ=CD. Но тогда в прямоугольном треугольнике DBC гипотенуза CD  в два раза больше катета ВС, а значит . Тогда .

Задача 5. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС вне его построены квадраты ABDE и . Докажите, что отрезок DM в два раза больше медианы ВР треугольника АВС.

Указание: задача использует ту же идею. Удвоим медиану ВР – получим новую точку Q. Докажем равенство треугольников DBM и QCB.

Задачи для самостоятельного решения В треугольнике ABC медиана, провед?нная из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол ВАС. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла в 4 раза короче гипотенузы. Найдите углы треугольника Постройте треугольник по двум его сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. В квадрате АВСD со стороной 1 точка F – середина стороны ВС, Е – основание перпендикуляра, опущенного из вершины А на DF. Найдите длину ВЕ.

МЕТОД ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ОКРУЖНОСТИ

Многие геометрические конфигурации устроены так, что в условии окружностей нет, но мы сами находим точки, лежащие на одной окружности, и используем эту окружность для решения задачи.

Задача 6. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АА1, ВВ1 и СС1, которые пересекаются в точке Н (см. рис.).

А) Найдите на чертеже пять острых углов, равных между собой, и обоснуйте.

Ответ: например,  ?BНC1 =?СНВ1 = ?САВ = ?СА1В1 = ? ВА1С1. Решение.

1) Точки А, А1, В1 и В лежат на окружности с диаметром АВ(провести). Тогда ? СА1В1= 90° –?AА1В1 = 90°– ?B1BA = ?САВ 

2) Точки С, А1, В1 и Н лежат на окружности с диаметром СН (провести). Тогда ?СА1В1 = ?СНВ1 .

В любом из этих пунктов можно также использовать, что прямая СН содержит высоту СС1 и рассмотреть прямоугольные треугольники СНВ1 и САС1 с соответственно равными углами.

3)  ?СНВ1 = ? BНC1 (вертикальные) ?BНC1 = ? ВА1С1(точки В, Н, А1 и С1 лежат на окружности с диаметром ВН) или  ?ВА1С1 = ? САВ (аналогично п. 1).

Б) Докажите, что точка Н – центр окружности, вписанной в треугольник А1В1С1.

Решение. Из доказанного в пункте А), в частности, следует, что прямые, содержащие высоты треугольника АВС содержат биссектрисы треугольника А1В1С1.

В) Докажите, что точка С лежит вне окружности с диаметром АВ, а точка Н – внутри этой окружности.

Решение. Используем следующее утверждение: угол АМВ, где АВ – диаметр окружности,: а) является острым т. и т. т., когда М лежит вне окружности; б) является тупым т. и т. т., когда М лежит внутри окружности.

Задача 7. На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2. Докажите, что прямые A1B, A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.

Решение. Опишем окружности около этих квадратов. Пусть M — общая точка этих окружностей, отличная от C. Тогда ?CMB1 = ?CB2B1 = 45?, как вписанные, опирающиеся на дугу 90?  , ?CMA = 180? ? ?CA2A = 135?

Следовательно, прямая AB1 проходит через точку M. Аналогично для прямых A2B2 и AB1.

Задача 8. Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках Mи N, отличных от A, а параллельная ей прямая, проходящая через B, — соответственно в точках P и Q, отличных от B. Докажите, что MN = PQ.

Решение. Проведем общую хорду окружностей. Поскольку

?NQP = ?NQB = ?ABQ = ?BAM = 180? ? ?BPM = 180? ? ?MPQ,

то четырёхугольник MNPQ — параллелограмм. Следовательно,

MN = PQ.

Задачи для самостоятельного решения

5. Общая гипотенуза АВ прямоугольных треугольников АВС и ABD имеет длину 5 см. Найдите наибольшее возможное расстояние между точками C и D.

6. Дан равносторонний треугольник АВС со стороной а. Точка D находится от точки А на расстоянии а. Какие значения может принимать величина угла BDC?

7. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке O. Докажите, что CO – биссектриса прямого угла. .

8. В треугольнике ABC ?B = 80°, ?C = 70°.  Внутри треугольника выбрана такая точка M, что треугольник CMB – равносторонний. Найдите углы MAB и MAC. 

9. В выпуклом четырехугольнике АВСD ?C = 45°, ?B = 150°, ?А = 60° и АВ = ВС. Докажите, что треугольник АВD – равносторонний.

10. Докажите, что медиана, проведенная из вершины тупого угла треугольника меньше половины стороны, к которой она проведена, а медиана, проведенная из вершины острого угла, – больше половины стороны, к которой проведена.

11. В выпуклом четырехугольнике АВСD углы А и С – тупые. Сравните длины диагоналей АС и BD.

12. Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2 пересекаются в точке A. Прямая O1A пересекает окружность S2 в точке K2,а прямая O2A пересекает окружность S1 в точке K1. Докажите, что ?O1O2A = ?K1K2A.