Пример решения заданий студенческой интернет-олимпиады 2014 (2 курс).
1. Пусть 
и 
- матрицы размерности 
и 
соответственно, такие, что произведение 
равно 
. Найти произведение 
.
Решение. Заметим, что 
Таким образом, 
.
Преобразуем предыдущее равенство, умножив обе части этого равенства слева на матрицу 
, левую обратную к 
, а справа на матрицу 
, правую обратную к 
:
Т. е. 
.
2. Найти наименьшее значение a, при котором сумма 
делится на 2015 при всех нечетных n.
Решение. Число 2015 можно разложить на множители 5 и 403. Сумма 
будет делиться на 2015, если она будет делиться на 5 и на 403.
Преобразуем исходную сумму:
.
Поскольку 5 и 199 взаимно простые числа, то исходная сумма будет делиться на 5, если 
будет кратно 5, т. е. 
.
С другой стороны,
.
Таким образом, поскольку 403 и 199 взаимно простые числа, исходная сумма будет делиться на 403, если 
будет кратно 403, т. е. 
.
Равенство 
возможно при наименьшем значении 
. Таким образом, наименьшее значение 
, при котором сумма 
делится на 2015, равно 404.
3. Функция 
непрерывна на отрезке 
и дифференцируема в промежутке 
. Известно, что функция 
удовлетворяет условию 
. Докажите, что на 
существует точка 
такая, что 
.
Решение. При 
неравенство 
примет вид
Аналогично, при 
неравенство 
примет вид
Т. е. на отрезке для функции выполнены условия теоремы Ролля, следовательно,
В интервале 
существует точка 
такая, что 
.
4. Вычислить 
.
Решение.
Первый интеграл в полученной разности равен 0 как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно 0 промежутку.
.
Таким образом,
.
5. Найти расстояние между графиками 
и 
.
Решение. Поскольку функции взаимно обратны, то их графики симметричны относительно прямой 
. Следовательно, расстояние между графиками равно удвоенному расстоянию от одного из графиков, например, 
, до прямой 
. Найдем на графике функции 
точку 
, расстояние от которой до прямой 
минимально. Это та точка, касательная в которой параллельна прямой 
, т. е. угловой коэффициент касательной равен 1:
.
Получаем уравнение относительно 
.
Расстояние от найденной точки до прямой 
равно
,
расстояние между графиками функций равно
.
6. Вычислить 
.
Решение. 
.
Используя разложение в ряд Маклорена функций 
и 
, получим:
7. Функция 
является решением дифференциального уравнения 
с начальным условием 
. Пусть 
. Вычислить 
.
Решение.
8. Решить уравнение 
.
Решение. Преобразуем правую часть исходного равенства, а затем продифференцируем обе части равенства два раза по :
Учитывая значение 
, получаем уравнение
,
решение которого имеет вид:
.
