ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ НЕКОТОРЫХ ОПРЕДЕЛЕННЫХ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Ли Чэнь

Томский политехнический университет, г. Томск

Научный руководитель:

В основном курсе теории функций комплексного переменного рассматривается применение вычетов к вычислению интегралов от функций комплексного переменного по замкнутому контуру. Методу вычисления таких интегралов соответствует довольно простой алгоритм, состоящий из несложных процедур. В некоторых случаях вычисление интегралов сводится к нахождению производных (если особые точки, входящие в контур интегрирования являются полюсами).

Применение вычетов этим не ограничивается. Прежде всего, аппарат вычетов можно использовать при вычислении интегралов от функций действительной переменной. Если подобрать некоторую функцию, переводящую отрезок в замкнутую плоскую кривую , то вычисление определенного интеграла от функции действительного переменного можно свести к вычислению интеграла по замкнутому контуру от функции комплексной переменной.

Простейшая задача такого типа связана с преобразованием отрезка в окружность. Рассмотрим вычисление интегралов вида , где - дробно рациональная функция, которая является непрерывной на отрезке . Для вычисления таких интегралов в математическом анализе в общем случае, используется замена , которая сводит интеграл к интегралу от рациональной дроби для вычисления которого применяется алгоритм интегрирования с простыми, но трудоёмкими преобразованиями. Если отрезок рассматривать как изменение аргумента . Точки , принадлежащей окружности, то замена переводит этот отрезок в окружность . Тогда , , и . В результате получим формулу, связывающую определенный интеграл от действительной переменной с интегралом по замкнутому контуру от функции комплексного переменного:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

.

Полученный справа интеграл является интегралом от аналитической функции, которая имеет конечное число особых точек, причем  все особые точки  являются  полюсами. Поэтому для вычисления интеграла можно применить теорему о вычетах, то есть , где функция аналитична на контуре , внутри него и имеет конечное число особых точек (полюсов). Следовательно , где суммирование ведется по всем полюсам , находящимся внутри окружности .

Еще больший интерес представляет возможность применения вычетов для вычисления несобственных интегралов вида . Возможность применения вычетов при вычислении таких интегралов основана на том, что отрезок действительной оси рассматривается как часть замкнутого контура , состоящего из этого отрезка и дуги окружности, а интеграл по контуру записывается в виде суммы двух интегралов:

где - дуга окружности

Тогда несобственный интеграл определяется следующим образом:

.

Интерес представляют несобственные интегралы, в которых подынтегральная функция такова, что . В этом случае т. е. вычисление несобственного интеграла от функции действительной переменной сводится к вычислению интеграла от функции комплексного переменного по замкнутому контуру. К таким интегралам относятся интегралы вида:

,

где и многочлены соответственно степеней и , и , то есть степень знаменателя по крайней мере, на две единицы больше степени числителя:

, ,

где правильная рациональная дробь, - любое рациональное положительное число.

Вычисление таких интегралов и приводящихся к ним интегралов методами математического анализа (нахождение первообразной) представляет в большинстве случаев определенные трудности. К таким интегралам относятся, например, интегралы вида , , .

Для вычисления перечисленных интегралов используются следующие формулы:

,

под знаком суммы стоит сумма вычетов функции во всех полюсах, расположенных в верхней полуплоскости;

, здесь суммирование ведется по всем полюсам функции , расположенным в верхней полуплоскости;

, здесь суммирование ведется по всем полюсам функции , расположенным в верхней полуплоскости.

Так называемые интегралы Френеля и удобно вычислять одновременно. Рассмотрим вспомогательную функцию , для которой при действительных подынтегральные функции и являются соответственно действительной и мнимой частями функции , то есть и . Заметим, что на биссектрисе первого координатного угла, то есть при , функция совпадает с подынтегральной функцией интеграла Пуассона . Чтобы воспользоваться этим, выберем контур, указанный на рисунке 1. Так как функция

является аналитической внутри него,

то по теореме Коши будем иметь

.

Учитывая, что

окончательно получаем

Откуда == .

Список литературы

1., Ряды и комплексный анализ. Функции комплеского переменного: учебное пособие - Томск: изд-во ТПУ, 2009. - 170с.

2., . Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. –М.: Издательство «наука», 1964. -388с.