Тема: Понятие отношения. Способы задания отношений. Свойства отношений

Урок 1.

Тема:  Понятие отношения. Способы задания отношений. Свойства отношений 

Цели:  раскрыть понятие отношения между элементами одного множества; рассмотреть

  способы их задания;  изучить свойства отношений; формировать умения вести диалог,

  работать над развитием коммуникативных способностей студентов, развитием их

  логического мышления.

Оборудование:  опорный конспект ОК-2.4, таблицы простых задач, кроссворд.

Ход  урока.

I Организация  урока. Сообщение  темы, плана ее изучения и цели урока.

Изучая  темы:  «Соответствия» и «Числовые функции», мы устанавливали связи между элементами двух множеств. Как вы думаете, а можно ли рассматривать определенные связи между элементами одного множества? Приведите примеры.

  Связи между элементами одного множества называют  отношения.

Если рассматривают отношения между двумя элементами, то их называют бинарными; отношения между тремя элементами - тернарными; отношения между п элементами  называют  п-арными. Мы будем  рассматривать в основном бинарные отношения. Чтобы  увидеть общность методических подходов к изучению конкретных отношений в начальном курсе математики, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, будущему учителю надо знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

План изучения темы:

Понятие отношения на множестве. Способы задания отношений. Свойства отношений. Виды отношений.

II  Изучение  нового  материала (лекция-беседа).

1.Понятие отношения на  множестве.

Изучая математику, мы устанавливаем различные отношения между числами, отрезками, фигурами. Запишем несколько примеров отношений на разных множествах:

Отношения  между элементами множества:
чисел	отрезков	людей
больше	длиннее	выше
меньше	короче	ниже
следует за	равенство	быть братом
больше в	параллельность	старше
кратно	перпендикулярность	быть однокурсником

Чтобы определить понятие  бинарного отношения на множестве, рассмотрим  № 000  М-1И.

- Какие отношения  между числами устанавливают дети при выполнении задания?

-Что получают в результате?

Значит, как соединяет каждое отношение элементы  некоторого множества? Будут ли эти пары упорядоченными? Почему? А упорядоченные пары являются элементами какого множества? В чем будет здесь отличие отношения от соответствия? Сделаем вывод: что называется бинарным отношением на множестве Х?

Бинарным отношением на множестве Х  называется  всякое  подмножество декартова произведения  Х?Х.

Тогда, как принято обозначать бинарные отношения (в дальнейшем будем опускать слово «бинарные»)?

Обозначают отношения тоже буквами латинского алфавита: P, R,S, T и др.

Тогда как записать символически определение отношения?

(R -  отношение на множестве Х) ? ( R ? Х?Х)

Как можно записать, что  элементы х и у находятся в отношении  R?

(х, у) ?  R или  хRу  -  «элемент х находится в отношении  R  с элементом у»

2. Способы задания отношений.

Как вы думаете, можно ли установить сходство в способах задания отношений

  и соответствий? Обоснуйте свой ответ.

Тогда,  какими способами можно задать отношения на множестве? Рассмотрим это на примере. Охарактеризуем первый способ, в чем его особенность?

I способ - указанием  характеристического свойства, с помощью предложения с двумя переменными. R: «х кратно у» или  P: «х > у»  на множестве  Х = {2, 4, 6, 8}

  Этот способ позволяет указать все элементы множества Х, которые находятся в этом отношении. Указав все элементы, каким способом зададим отношение  на множестве?

II способ  -  перечислением  элементов. R = {(2,2), (4,2),  (4,4), (6,2), (6,6), (8,2), (8,4), (8,8)}; P = {(4,2), (6,2), (6,4), (8,2), (8,4), (8,6)}

Как задать отношение перечислением его элементов? Как отыскать эти упорядоченные пары? Как можно прочитать каждую пару? Какие наглядные способы задания отношения можно рассмотреть? Анализируем третий способ. Что такое граф? Чем будет отличаться граф отношения от графа соответствия? Покажем этот способ на наших примерах.

Каким еще способом можно задать отношение на множестве? В чем особенность этого способа? Покажем его на наших примерах.

IV  способ  -  с помощью графика.

Отметив элементы отношения на координатной плоскости, получим график отношения. R:

«х кратно у»  y  P:«x > у»  y

  0  2  4  6  8  x  0  2  4  6  8  x

3. Свойства  отношений.

Как и любые другие математические понятия, отношения обладают различными свойствами. Их удалось выделить, изучая конкретные отношения. Свойств достаточно много, но мы рассмотрим некоторые из них. Чтобы заметить свойства, проведем небольшое исследование, задав на множестве отрезков  отношения  перпендикулярности, параллельности и «длиннее» с помощью графа.  a 

  b

Х = {a, b, c, d e} 

  e  c  d

  1) Т: «х || у»  2) P: «х ? у»  3) S: «х длиннее у»

  b  c  b  c

  e  d  e  d

Сравните  построенные графы.  Чем отличается граф отношения параллельности  от других? Что показывают эти петли?  Значит, каким свойством обладает отношение параллельности отрезков? Это свойство называют рефлексивностью.

В каком же случае отношение R на множестве Х будет рефлексивным?

Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент этого множества  находится в отношении R с самим собой. R  рефлексивно  на Х  ?  ? х? Х,  xRx

Как определить свойство рефлексивности по графу?

В каждой вершине графа рефлексивного отношения имеется петля.

Чем похожи графы отношений  Т и Р? Почему здесь некоторые пары элементов вступают во взаимные отношения? Такое свойство называют симметричностью.

В каком же случае отношение R на множестве Х будет симметричным?

Отношение R на множестве Х называется  симметричным,  если  из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у находится в отношении R с элементом х. R  симметрично на Х  ?  ( х R у  ? у R х )

В чем особенность графа симметричного отношения?

Граф симметричного отношения отличается наличием двойных стрелок: от х к у и от у к х.

Чем отличается  граф отношения S от графов отношений Т и Р?  Почему  на графе отношения S пары элементов связывают только по одной стрелке?

Такое свойство называют антисимметричностью. В каком же случае отношение R на множестве Х будет антисимметричным?

Отношение R на множестве Х  называется антисимметричным, если для различных элементов х и у  из того,  что х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. R  антисимметрично на Х  ?  ( х ? у  и  х R у ?  ?у?R?х )

Чем отличается граф антисимметричного отношения?

Граф антисимметричного отношения отличается наличием только одной стрелки между связанными этим отношением элементами.

А теперь сравните графы отношений Т и  S. Чем они похожи? Если затрудняетесь, обратите внимание на три связанных между собой элемента. Какую тройку  отношения Т (S) можно рассмотреть? Как  связаны эти элементы? Какой вывод можно сделать?

Это свойство называют  транзитивностью. В каком же случае отношение R на множестве Х будет  транзитивным?

Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении  R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R  с элементом z. R  транзитивно на Х  ?  (хRу  и  уRz ?  хRz)

В чем особенность графа транзитивного отношения?

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, содержит стрелку, идущую от х к z.

Итак, сделаем вывод: какими свойствами могут обладать отношения и какова особенность

  каждого свойства?

Выделенные свойства позволяют анализировать различные отношения с общих позиций  -  наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств. Обобщим, какими свойствами обладает каждое из рассмотренных отношений: Т? (Р?  S?). Сформулируйте свойства отношения по графу ( по таблице). Сформулируйте свойства отношения «больше на 3». (больше в 2 раза). Какую связь имеет изученная тема с начальным курсом математики?

III  Практическая  работа.

Соответствие P:«х < у» задано между элементами  множеств: Х = {-2, 4} и У = {-1, 0, 5}. Задайте соответствие P и обратное ему соответствие  перечислением элементов. Постройте графики этих соответствий. Учитель детям предлагает задание: измерить длину каждого отрезка, изображенного на карточке. Какое соответствие и между элементами каких множеств устанавливают дети при выполнении этого задания?  Выполните задание и постройте граф этого соответствия. Пользуясь построенным графом назовите элементы этого соответствия. В каком случае это соответствие было бы взаимно однозначным? Задайте отношение R: «х кратно у» на множестве Х = {4, 6, 8, 24} различными способами. Укажите свойства данного отношения, определите его вид. В таблице указаны длины смежных сторон прямоугольника. Начертите граф отношения

  R: «иметь одинаковую площадь» на множестве прямоугольников Х = {А, В, С, Д, Е, F}.

  Укажите свойства этого отношения и определите вид.

прямоугольник	А	В	С	Д	Е	F
a (см)	3	8	6	4	12	5
b (см)	4	3	2	6	2	7

Покажите, что решение задачи № 000 М-2И связано с выделением  равномощных множеств. Выполните различные модели к задаче (краткая запись, схема).

IV  Задание  на  дом.

Учить опорный конспект  ОК - 2.4; п.47-48 ; №11 с.214 - задать отношения разными способами и установить их свойства; № 000 М-1И - построить граф отношений: Р: «х = у» и R: «x < y» на  множестве числовых выражений, рассмотреть их свойства.

V  Итог  урока.

Что называется отношением на множестве? В чем сходство и различие отношения и соответствия? Какими способами можно задать отношения на Х? Объясните особенность каждого способа. Какими свойствами могут обладать отношения? В чем сущность каждого свойства? Какими свойствами обладает отношение равенства на множестве отрезков