ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ, РАЗМЕРОВ И ОБЪЕМА БРЕВЕН
С УЧЕТОМ ИХ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ
Известно, что у каждой породы форма ствола имеет специфические особенности, которые связаны с биологическими свойствами этой породы дерева. На форму и диаметр бревна влияют также место и условия роста. Например, ствол дерева, которое выросло в густом лесу, имеет меньший сбег, чем ствол дерева, которое выросло отдельно. С этим связана и форма, и объем бревен, которые будут выпилены из этих стволов. Однако на лесопильные предприятия информация об условиях роста деревьев не поступает. Значит, чтобы учесть фактическую форму, размер, объем бревна и выбрать оптимальную схему его раскроя, необходимо на основе подробной информации об индивидуальных особенностях лесоматериала составить его математическую модель.
Для описания формы боковой поверхности хлыстов и бревен профессоры и предложили математическую модель, образованную совокупностью одинаково ориентированных эллипсов вдоль некоторой кривой линии – оси (рис. 5). Такая модель поверхности бревна задавалась уравнением
где f1(z), f2(z) – функции, которые определяют координаты центров эллипсов; a(z), b(z) – функции, которые задают размеры осей эллипсов; 0 < z < L – текущая длина бревна или хлыста.
Рис. 5. Моделирование поверхности хлыста
по и
Уравнение оси бревна обычно задается в виде полинома:
,
где c0, c1, c2, c3 – постоянные коэффициенты.
Эта модель учитывает кривизну бревен и овальность поперечного сечения.
В Белорусском государственном технологическом университете (БГТУ) разработан способ точного определения фактических размеров и объема, который позволяет учитывать индивидуальные особенности бревна. Этот способ основан на построении числовых интерполяционных моделей круглых лесоматериалов. В качестве математического аппарата для таких моделей были использованы кубические сплайн-функции.
Кубическая сплайн-функция, или просто сплайн – это непрерывная функция, сложенная из нескольких кубических компонентов, которые ровно «склеены» между собой, т. е. так, что в местах склейки имеют общую касательную и, может быть, кривизну. Здесь имеются в виду математические понятия касательной и кривизны как они определены в математическом анализе.
Звено кубического сплайна задается по аналогии с формулой (3) следующим выражением:
,
где aк – коэффициент i-го звена сплайна; xi – i-й узел сплайна;
i = 1, 2, …, N – номер узла; N – количество узлов. Совокупность таких звеньев образует сплайн (рис. 6, а).
Вышеупомянутое обозначение придает сплайнам отличные качества для моделирования практически любых кривых и поверхностей. При этом важную роль отыгрывают количество и размещение точек, где происходит склеивание кривых. Эти точки называют узлами. Обычно их выбирают равноудаленными. Количество узлов зависит от того, насколько сложной является кривая, которую надо моделировать. Так, если поперечное сечение бревна в виде круга, тогда при количестве точек N = 4 ошибка, определенная как сумма площадей заштрихованных сегментов (см. рис. 6, а), составляет 2,92%, а при N = 6 уменьшатся до 0,93%.
Рис. 6. Моделирование бревна при помощи сплайн-функции:
а – поперечное сечение (1 – узлы; 2 – фактическое поперечное сечение;
3 – сечение аппроксимированное сплайном);
б – поверхность бревна:
Если же N = 8, тогда она составляет всего лишь 0,12%. Таким образом, если увеличивать количество узлов, то можно сделать величину ошибки сколько угодно малой.
Поверхность бревна моделируется бикубическим сплайном. Этот сплайн строится как обобщение кубического сплайна на двухмерный случай.
Геометрическая модель поверхности бревна представляет собой объемное тело, построенное на каркасе его поперечных сечений и образующих (рис. 6, б). Параметрическое представление модели поверхности задается векторным уравнением.
, (10)
где бикубические сплайны имеют следующий вид:
; (11)
; (12)
, (13)
где 
, 
, 
– коэффициенты сплайнов; t, s – параметры, заданные на отрезке [0, 1], i = 1, 2, …, N – 1; j = 1, 2, …, M – 1.
Выражения (11)–(13) в совокупности представляют математическую модель поверхности бревна. Коэффициенты сплайнов рассчитываются путем решения соответствующих систем уравнений. Когда известны значения коэффициентов сплайнов, можно рассчитать объем бревна. Для этого нужно выполнить интегрирование вдоль образующей. Не приводя промежуточных расчетов, дадим окончательное выражение, которое определяет объем бревна через коэффициенты сплайнов:
, (14)
где L – длина бревна; N, M – количество узлов соответственно на сечении и образующей; 
, 
– коэффициенты сплайна.
Для определения точности расчета объемов по формуле (14) было проведено компьютерное моделирование для бревен диаметром 14–50 см и длиной 3,0–6,5 м. При этом на сечениях бревна количество узлов составило 8, а вдоль образующей равноудаленные узлы (сечения) расположены через отрезки длины, кратные 0,5 м. Результаты моделирования показали, что погрешность определения объемов по сравнению с табличными значениями не превышает 1,5%, причем эта величина достигнута только в вариантах моделирования с использованием двух концевых сечений. В остальных случаях при 3–11 поперечных сечениях она составила в среднем не более 0,5%. При моделировании в качестве настоящих были взяты стандартные объемы бревен.
Таким образом, использование математических моделей на базе кубических сплайнов, которые отличаются высокой точностью, позволяет получить адекватные описания формы и размеров круглых лесоматериалов. Это значит, что такая модель не только точно определяет размеры бревна, но и учитывает пороки его формы (кривизну, овальность, сбежистость и т. д.). Отметим при этом, что модель не требует сведений об условиях роста дерева. Она построена только на основании объективной информации о координатах точек каркаса бревна и потому может быть названа индивидуальной моделью для учета и раскроя бревен.
Сведения, необходимые для построения индивидуальных моделей конкретного бревна, которое подлежит учету и распиловке, могут быть получены с помощью соответствующих измерительных систем. Описание таких измерителей изложено в литературе [27].
