За границей теоремы Пифагора

Департамент образования г. Москвы

ГБОУ гимназия № 000 «Школа Ломоносова»

За границей теоремы Пифагора

Исследовательская работа

ученика 9А класса

Денисенко Николая Викторовича

Руководитель:

Заслуженный учитель РФ

Москва

2017 г.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

Выдвижение гипотезы…………………………………………………………4

Первое открытие……………………………………………………………….5

Четырёхугольники…………………………………………………………….6

Главная загадка……………………..…………………………………………8

Список литературы………….……………………………………………….12

Введение

Актуальность: в математике существуют проблемы, вызывающие постоянный интерес в течение не только десятилетий, но и тысячелетий. Теорема Пифагора известна людям, по некоторым данным, свыше 3 тысяч лет. А вот различные выводы, новые формулировки, основанные на этой теореме, можно делать даже в наши дни. Я задумался над тем,  не таят ли в себе другие закономерности известные отношения между площадями плоских фигур.

Объектом исследования в данной работе являются плоские фигуры и их площади.

Предмет исследования – отношения между площадями квадратов, построенных на сторонах или элементах плоских фигур.

Таким образом, цель исследования состоит в том, чтобы выявить закономерности между площадями квадратов, построенных на сторонах или элементах плоских фигур.

Задачи исследования:

рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах или элементах плоских многоугольников; выяснить, существует ли связь между площадями этих квадратов: провести доказательства полученных связей; сформулировать полученные выводы в виде теорем.

Гипотеза исследования: теорема, подобная теореме Пифагора, выполняется не только в прямоугольном треугольнике.  Центральная гипотеза: для квадратов, построенных на сторонах дополнительных треугольников. выполняется теорема, аналогичная теореме Пифагора. Дополнительная гипотеза: сумма площадей квадратов, построенных на сторонах или элементах плоской фигуры равна площади квадрата, построенного на другой стороне или элементах той же плоской фигуры. (возможно, сумме площадей других квадратов).

Методы исследования:

анализ сторон плоских фигур, их диагоналей, медиан, высот, биссектрис, их связи между собой в зависимости от сторон и углов исходной фигуры; вычисление, необходимые для подтверждения или опровержения выдвинутой гипотезы; обобщение полученных результатов.

Выдвижение гипотезы

Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. Даже те, кто в своей жизни далек от математики, продолжают сохранять воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате гипотенузы, равной сумме квадратов катетов. Причина такой популярности теоремы Пифагора ясна: это простота — красота — значимость.

Я уверен, что многим известны слова академика РА[2] «…если мы хотим дать знать внеземным цивилизациям о существовании разумной жизни на Земле, то следует посылать в космос изображение Пифагоровой фигуры». 

В общем, про теорему Пифагора ещё очень много можно говорить, но цель моей работы совсем иная.

Оттолкнёмся от одной из формулировок теоремы Пифагора: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Формулировка про квадраты - самая популярная, хотя можно говорить о равенстве площадей правильных треугольников, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (см. рис.: площадь голубого треугольника равна сумме площадей розового и жёлтого). Также верна формулировка про площади трёх полукругов, построенных на катетах и гипотенузе.

Кстати, именно на этой конструкции предлагаю задержаться на минуту. Этот факт менее известен: сумма площадей двух голубых «луночек» равна площади прямоугольного треугольника АВС. Открытие этого факта приписывают Гиппократу Хиосскому.

Вот именно идея таких конструкций и привлекла моё внимание – существуют ли квадраты, построенные на сторонах, биссектрисах, медианах, диагоналях и т. д. различных плоских фигур, равновеликие по площади?

Первое открытие.

Один из первых выводов был получен очень просто. Речь идёт о квадратах, построенных на сторонах произвольного треугольника и на его медианах. Первоначальная гипотеза состояла в том, что сумма площадей квадратов, построенных на сторонах треугольника равна сумме площадей квадратов, построенных на медианах этого треугольника.

В дальнейшем гипотеза была скорректирована.

Дано: ?АВС, АD, BE и CF – медианы.

Доказать: В2+ВС2+СА2=k(AD2+BE2+CF2).

Доказательство: 1. По известной формуле длины медианы треугольника получим

Аналогично: и

2. Сложим все три уравнения и получим

Или 

Таким образом, сумма площадей квадратов, построенных на медианах произвольного треугольника, составляет три четверти от суммы площадей квадратов, построенных на сторонах этого же треугольника.

Увы, оказалось, что мое «открытие» настолько известно, что даже упоминается в Википедии, в статье про медианы треугольника[4].

Четырёхугольники.

Обратимся к четырехугольникам. Попробуем строить квадраты на сторонах четырёхугольников.

Прямоугольник: все банально просто и неинтересно, две пары равных квадратов. С площадью прямоугольника их можно связать, только если исходный прямоугольник квадрат.

Параллелограмм: тоже всё неинтересно, тоже две пары равных квадратов,  никак не связанных с площадью параллелограмма. Очевидность последнего вывода следует из того, что если взять два параллелограмма с равными сторонами, но разными углами, то площадь параллелограмма изменится, а квадраты, построенные на сторонах, останутся без изменений.

А если взять стороны параллелограмма и его диагональ? Тоже ничего интересного – диагональ можно сделать настолько большой, что квадрат, построенный на ней, будет заметно больше, чем сумма квадратов, построенных на сторонах. А квадрат, построенный на второй диагонали, при этом будет слишком маленьким.

А вот тут-то и приходит в голову идея: а будет ли сумма двух желтых квадратов равна сумме четырёх голубых? Гипотеза готова, проверяем!

Дано: АВСD параллелограмм, S2, S3, S5, S6 – площади квадратов, построенных на сторонах ABCD, S1 и S4 – площади квадратов, построенных на диагоналях АС и ВD.

Проверить: S1 + S4 = S2 + S3 + S5 + S6.

Проверка: 1. Обозначим стороны параллелограмма a и b.

2. В треугольнике ADB

3. В треугольнике AСB

3.

4.

5. S1 + S4 =

= S2 + S3 + S5 + S6.

Гипотеза подтверждена: сумма площадей квадратов, построенных на диагоналях произвольного параллелограмма, равна сумме площадей квадратов, построенных на сторонах этого же параллелограмма.

И снова поиск по книгам и интернету, известен ил этот факт? И опять неутешительный вывод: да известен, например, в книге Клауди Альсена «Секта чисел»[3]. Пришлось остановиться и сначала посмотреть, что же уже известно на данный момент. Перечитав около двух тысяч статей в Википедии, в которых упоминалась «сумма квадратов», я нашел ещё несколько интересных фактов: следствие теоремы Вариньона, свойства ортоцентра треугольника, теорема о вершинах подерного треугольника и свойство центроида треугольника.

Главная загадка.

И тогда я решился замахнуться на самое святое – «пифагоровы штаны». Главная мысль, которая мучала меня – что будет, если дальше продолжить чертеж теоремы Пифагора? Достроить дополнительные треугольники, на них новые квадраты… Вдруг я и там увижу соотношение, подобное теореме Пифагора?

Рассмотрим знакомую нам картинку: В прямоугольном треугольнике АВС на гипотенузе построили красный квадрат, а на катетах – голубые квадраты. При этом АВ=с, АС=b, ВС=с, ?А=?.

Теперь достроим на сторонах квадратов желтые треугольники  АА1А2, ВВ1В2 и СС1С2. Назовём их дополнительными.

Затем на сторонах А1А2, В1В2 и С1С2  этих треугольников построим новые квадраты А1А2А3А4, В1В2В3В4 и С1С2 С3С4. Получим следующую картинку:

Проверим, связаны ли площади новых квадратов между собой? Связаны ли они с площадями исходных квадратов? Связана ли площадь исходного треугольника с площадями дополнительных треугольников?

Заметим, что в ?А=?, ?В=90° ? ?, тогда ?А2АА1=180° ? ?, ?В2ВВ1=90° + ?. При этом , , Тогда в

.

В

.

В   Таким образом, получаем ,  , , следовательно,

.

А учитывая, что ,  , ,

а ,

сделаем вывод: сумма площадей квадратов, построенных на сторонах дополнительных треугольников, в шесть раз больше площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Или сформулируем по-другому: сумма площадей квадратов, построенных на сторонах дополнительных треугольников, в три раза больше суммы площадей квадратов, построенных на сторонах исходного прямоугольного треугольника.

Таким образом, связать площади зелёных квадратов между собой мне не удалось, зато выяснилась связь с исходными квадратами.

И ещё одна интересная особенность в этой конструкции.

Рассмотрим наши желтые дополнительные треугольники АА1А2, ВВ1В2 и СС1С2.

. . .

Т. е. площади всех трёх дополнительных треугольников равны между собой, и равны площади исходного прямоугольного треугольника.

И тут я с гордостью могу заявить, что ни в одном источнике этих выводов я не нашел!

Вывод: я нашел и доказал два свойства, связывающих площади плоских фигур. А именно:

- сумма площадей квадратов, построенных на сторонах дополнительных треугольников, в шесть раз больше площади квадрата, построенного на гипотенузе;

- площади всех трёх дополнительных треугольников равны между собой, и равны площади исходного прямоугольного треугольника.

Список литературы

, , и др. «Геометрия 7-9», М. Просвещение, 2015 г. Г. Глейзер «О теореме Пифагора и способах ее доказательства», газета «Математика» №24, 2001 г. К. Альсена «Секта чисел», М. Deagostini, 2014 г. https://ru. wikipedia. org/wiki/Медиана_треугольника https://ru. wikipedia. org/wiki/Параллелограмм