Задания на карантин группа ЭС 17-1

Задания на карантин группа ЭС 17-1

Дата  26.03.2017г.

Тема. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при появлении  одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий P(Bi) и условные вероятности P(A/Bi), I = 1, 2, …, n. Требуется найти вероятность события А.

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2, …, Вn, образующих полную группу событий, вычисляется  по формуле полной вероятности:

P(A) = P(B1)·P(A/B1) + P(B2)·P(A/B2) + …+ P(Bn)·P(A/Bn)

Например.

В салоне имеются в продаже телефоны трех производителей: 30%, 20% и 50% по каждому производителю. Вероятность выпустить бракованный телефон для первого производителя равна 0,01, для второго – 0,03, для третьего – 0,05.Найдите вероятность того, что случайно выбранный телефон окажется бракованным.

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что выбран бракованный телефон.

В1 – телефон выпущен первым производителем;

В2 – телефон выпущен вторым производителем;

В3 – телефон выпущен третьим производителем.

В1, В2 и В3 – гипотезы.

Вероятности гипотез высчитываем исходя из условия задачи: P(B1) = 30% : 100% = 0,3;

P(B2) = 20% : 100% = 0,2;  P(B3) = 50% : 100% = 0,5.

Условные вероятности даны по условию задачи.

Для решения данной задачи лучше свести все данные в таблицу:

Производитель	Р(Вi)	Р(А/Вi)
1	0,3	0,01
2	0,2	0,03
3	0,5	0,05

По формуле полной вероятности находим:

Р (А) = 0,3 · 0,01 + 0,2 · 0,03 + 0,5 · 0,05 = 0,034.

Ответ: Р(А) = 0,034

Задача для самостоятельного решения.

Предприятие производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 60% всех комплектующих деталей; второй - 15%; третий – 25%. Известно, что качество поставляемых деталей разное и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4%; второго – 5%; третьего – 2%. Определите вероятность того, что:

а) наудачу выбранная деталь будет бракованной;

б) наудачу выбранная деталь будет без брака.

Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, которые образуют полную группу. Формула полной вероятности вычисляет вероятность наступления события А. Допустим, что уже произведено испытание, в результате которого наступило событие А, тогда каким образом изменятся вероятности каждой гипотезы? В связи с этим ставится задача вычисления вероятностей гипотез после опыта. Эти вероятности могут быть вычислены по формуле Байеса:

Например.

В магазине продают телевизоры трех фирм. Продукция первой фирмы составляет 20%, второй – 35%, третьей – 45%. Доля бракованной продукции для первой фирмысоставляет 1%, второй – 5%, третьей – 2%. Покупатель наудачу купил телевизор и он оказался бракованным. Найдите вероятность того, что телевизор выпущен второй фирмой.

Решение.

Пусть событие А состоит в том, что выбран бракованный телевизор.

В1 – телевизор выпущен первой фирмой;

В2 – телевизор выпущен второй фирмой;

В3 – телевизор выпущен третьей фирмой.

В1, В2 и В3 – гипотезы.

Вероятности гипотез высчитываем исходя из условия задачи: P(B1) = 20% : 100% = 0,2;

P(B2) = 35% : 100% = 0,35;  P(B3) = 45% : 100% = 0,45.

Условные вероятности так же рассчитываем из условия задачи и сводим все данные в таблицу:

№ фирмы	Р(Вi)	Р(А/Вi)
1	0,2	0,01
2	0,35	0,05
3	0,45	0,02

Чтобы вычислить искомую вероятность необходимо воспользоваться формулой Байеса:

В этой формуле нам неизвестна только вероятность Р(А), вычислим ее по формуле полной вероятности: Р (А) = 0,2 · 0,01 + 0,35 · 0,05 + 0,45 · 0,02 = 0,0285.

Теперь можно вычислить

Ответ: .

Задачи для самостоятельного решения.

Внимание!

Все задания должны быть выполнены в отдельной тетради в клетку не менее 18 листов.

На полях проставлено число (дату смотри выше). Посередине строки написана тема пары.

Далее должны быть решены задачи по образцу, указанному в теории.

Количество тем будет соответствовать количеству пар в неделю ( не менее четырех).

Продолжение следует.