Лекция 4
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ В ГРУНТАХ
План лекции
1. Напряженное состояние в точке грунтового массива
2. Распределение напряжений в грунте в случае пространственной задачи
2.1. Действие вертикальной сосредоточенной силы, приложенной к поверхности линейно-деформируемого полупространства (задача Буссинеска, 1885 г.)
2.2. Действие местной равномерно распределенной нагрузки (задача А. Лява, 1935 г.)
2.3. Определение напряжений методом угловых точек
3. Распределение напряжений в грунте в случае плоской задачи
3.1. Действие равномерно распределенной полосовой нагрузки (задачи Фламана, 1892 г. и Митчела, 1902 г.)
4. Влияние неоднородности напластований грунтов на распределение напряжений
5. Напряжения от действия собственного веса грунта
Для определения напряжений в грунтах в механике грунтов используется теория линейно-деформируемых тел, которая основана на уравнениях теории упругости.
Уравнения теории упругости могут быть применены к грунтам с определенными ограничениями:
- закон Гука в общем случае не применим, так как в грунтах возникают значительные остаточные деформации; линейная связь справедлива между напряжениями и общими деформациями в определенных пределах; уравнения теории упругости справедливы лишь для массива грунта, в котором отсутствуют области предельного равновесия; решения теории линейно-деформируемых тел можно использовать только при однократном нагружении основания; решения теории линейно-деформируемых тел отвечают начальному (ненарушенному) и конечному (стабилизированному) статическому состоянию грунта и определяют полные напряжения в скелете грунта под действием внешних сил.
1. Напряженное состояние в точке
грунтового массива
Напряженно-деформированное состояние в точке грунтового массива определяется нормальными (?x, ?y, ?z) и касательными напряжениями (?xy =?yx, ?yz = ?zy, ?xz = ?zx), линейными (?x, ?y, ?z) и угловыми деформациями (?xy =?yx, ?yz = ?zy, ?xz = ?zx) и перемещениями (u, v, w). На площадках, где касательные напряжения равны нулю, действуют главные нормальные напряжения ?1 ? ?2 ? ?3. В механике грунтов сжимающие напряжения принимаются со знаком плюс.
Для изучения распределения напряжений в какой-либо точке внутри грунтового массива обычно выделяют у этой точки трехгранную призму и рассматривают условия ее равновесия. Эта призма должна иметь малые поперечные размеры по сравнению с размерами массива грунта, чтобы ее можно было считать бес-
0 ?z x
?zx
?zy ?xz
?x
?yz
y ?yx ?xy
?y
z
конечно малой и рассматривать напряжения в точке. С другой стороны, эти размеры должны быть достаточно большими по сравнению с размерами отдельных частиц грунта, чтобы их неоднородности не влияли на ее свойства, и можно было применять теорию напряжений.
По боковым граням выделенной призмы будут действовать нормальные и касательные напряжения. Величина этих напряжений будет изменяться при изменении положения боковых граней призмы. Как известно из курса сопротивления материалов, в каждой точке существуют две такие взаимно перпендикулярные площадки, в которых касательные напряжения равны нулю. Эти площадки называются главными площадками, а действующие в них нормальные напряжения – главными напряжениями (в механике грунтов ?1 ? ?2 ? ?3).
Если грани АВ и ВС, образующие в рассматриваемой призме прямой угол, ориентировать по направлению главных площадок, то к ним будут приложены главные напряжения ?1 и ?3, а касательные напряжения будут отсутствовать (рис.3.2).
А ?sum
? ?
?
?3
?
B C
?1
По грани АС, составляющей с одной из главных площадок угол ?, будут действовать нормальное и касательное напряжения ? и ?, величину которых можно определить из выражений:
, 
.
Полное напряжение, приложенное к грани АС, будет равно
.
Отклонение суммарного напряжения от нормали образует угол ?, который называют углом отклонения. С изменением угла ? изменятся ?sum и ?. Когда ? = 0, ?sum = ?1, а при ? = 900 получим ?sum = ?3, причем в обоих случаях ? = 0.
Распределение напряжений в точке по различным площадкам применительно к условиям плоской задачи можно описать с помощью уравнения эллипса напряжений:
.
Зависимость угла ? от угла ? определяет следующим выражением
.
Направление двух площадок, соответствующих углу наибольшего отклонения ?max, соответствует углу ? = 450 ± ?max/2. Для этих площадок характерно наибольшее отношение касательного напряжения к нормальному ?/?.
Наибольшее касательное напряжение ? max будет при sin 2? = 1 или ? = 450. Таких площадок также две, и они делят угол между главными площадками пополам.
2. Распределение напряжений в грунте в случае
пространственной задачи
2.1. Действие вертикальной сосредоточенной силы, приложенной к
поверхности линейно-деформируемого полупространства
(задача Буссинеска, 1885 г.)
Пусть в т. О на поверхности линейно-деформирмиреу-мого полупространства приложена вертикальная сосредоточенная сила N. Определим напряжения от действия этой силы в произвольной точке М, положение которой определяется координатами R и ? в радиальной системе координат и координатами z и r – в декартовой. Начало координат расположено в точке О. Будем считать, что в точке М действует напряжение ?R, направленное по радиусу к точке О. Принято, что напряжение ?R прямо пропорционально углу ? и обратно пропорционально квадрату радиуса:
, (3.1)
где А – неизвестная постоянная.
Для определения неизвестной постоянной А составим сумму проекций на ось z всех сил, действующих на полушаровую поверхность радиуса R, без учета собственного веса грунта:
, (3.2)
где dF – площадь поверхности элементарного шарового пояса, полученного при изменении угла ? на величину d?.
dF = 2?(R?sin?)?(R?d?). (3.3)
Проинтегрировав выражение (3.2), получим значение неизвестной постоянной
. (3.4)
Отсюда найдем выражение для напряжения
. (3.5)
Напряжение ?R действует на площадку, перпендикулярную радиусу. Чтобы найти напряжения, действующие на площадке, параллельной ограничивающей плоскости, и от радиальных координат перейти к декартовым, рассмотрим равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 3.2 в). Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:
. (3.6)
или 
. (3.7)
Так как 
, 
(3.8)
(3.9)
. (3.10)
- перемещение поверхности;
здесь 
- коэффициент линейно-деформирмиру-емого полупространства
Т. к. 
, 
. (3.11)
Обозначив 
,
получим для ?z более простое выражение
. (3.12)
Аналогично можно найти выражения и для других составляющих тензора напряжений. Для коэффициента К составлены таблицы, что облегчает пользование формулой (3.12).
Построим эпюры распределения ?z в зависимости от координат z и r.
N
Y
z
?z=f(z)
?z =f(r)
Z
При z = 0 ?z > ?, а при z > ? ?z > 0;
при r = 0 ?z - max, а при r > ? ?z > 0.
Т. к. бесконечно больших напряжений в грунте быть не может, некоторую область, заштрихованную на рис., следует исключить из рассмотрения. Напряжения в точке приложения сосредоточенной силы не могут быть описаны уравнениями Буссинеска.
2.2. Действие местной равномерно распределенной
нагрузки (задача А. Лява, 1935 г.)
Рассмотрим действие равномерной нагрузки интенсивности р, распределенной по прямоугольной площадке на поверхности линейно-деформируемого полупространства. Для определения напряжений воспользуемся решением Буссинеска. Для этого равномерно распределенную нагрузку представим в виде элементарных сосредоточенных сил. Каждая из этих сил может быть определена как
n = p?dx?dy. (3.13)
Заменив в уравнении Буссинеска N на n из выражения (3.13) и проинтегрировав по прямоугольной площади загружения, можно получить выражение для вертикального напряжения в любой точке с координатами (x, y, z). Это выражение имеет очень сложный вид, неудобный для пользования. Коэффициенты этих выражений вычислены и для них составлены таблицы.
р
Y
Z
dy
X
dx
b x
y Y
l
Для точек, расположенных под центром прямоугольной площади загружения, напряжения ?z могут быть определены по формуле
?z = ??р, (3.14)
где ? - коэффициент, принимаемый по таблицам; р – равномерно распределенная нагрузка.
Значения коэффициента ? принимаются в зависимости от величин ? = l/b и ? = 2z/b (где l – длинная сторона прямоугольной площадки загружения; b – короткая ее сторона; z – глубина расположения точки).
2.3. Определение напряжений методом угловых
точек
Для определения напряжений в точках, не лежащих на оси симметрии площади загружения, используется метод угловых точек, предложенный в 1932 г. Он показал, что для любого равномерно загруженного прямоугольника угловое вертикальное напряжение на глубине 2z равно одной четверти осевого вертикального напряжения на глубине z.
При нахождении напряжения ?z под угловыми точками прямоугольной площади загружения значения коэффициента ? можно принимать по тем же таблицам в зависимости от ? и ?. В этом случае ? = z/b.
Напряжения под угловыми точками
?z = 0,25??р. (3.15)
Метод угловых точек позволяет определять вертикальные напряжения ?z в любой точке полупространства. Для этого точку, в которой необходимо определить напряжение, с помощью дополнительных построений следует сделать угловой.
Если проекция рассматриваемой точки М’ находится в пределах загруженной площади (точка М), то эта площадь разделяется на четыре прямоугольника, для каждого из которых точка М является угловой. Образуются прямоугольники: I – afMe, II – eMkd, III – fbhM, IV – Mhck. Тогда напряжения ?z найдем суммированием напряжений под угловыми точками четырех площадей загружения:
?z = ?zI + ?zII + ?zIII +?zIV = 0,25p(?I + ?II + ?III + ?IV),
где ?I, ?II, ?III, ?IV – коэффициенты, принимаемые по таблицам в зависимости от соотношения сторон площадей загружения I, II, III, IV и отношения z (глубины расположения точки М’) к ширине каждой из этих площадей.
p p
z M’ z M’
a f b a b f
e h e h M
II
d k c d c k
Когда проекция рассматриваемой точки М’ находится вне пределов загруженной площади, точку М можно представить как угловую для четырех фиктивных прямоугольников: I – afMe, II – eMkd, III – bfMh, IV – hMkc. При этом в пределах площадей III и IV нагрузку учитываем с отрицательным знаком.. Тогда напряжения ?z найдем из выражения:
?z = ?zI + ?zII - ?zIII - ?zIV = 0,25p(?I + ?II - ?III - ?IV).
3. Распределение напряжений в грунте в случае
плоской задачи
3.1. Действие равномерно распределенной полосовой нагрузки
(задачи Фламана, 1892 г. и Митчела, 1902 г.)
Условия плоской задачи имеют место тогда, когда напряжения распределяются в одной плоскости, а в перпендикулярном направлении они равны нулю, или постоянны. Это характерно для протяженных сооружений ( l/b ? 10). При этом действуют напряжения ?z, ?y и ?yz; ?xy =?xz=0, а ?x является функцией от ?z и ?y. Рассматриваемые сечения остаются плоскими в процессе деформации (плоская деформация).
Пусть на поверхности линейно деформируемого полупространства действует равномерная нагрузка, распределенная по полосе шириной b. Рассмотрим напряженное состояние в т. М.
Выражения для составляющих напряжений ?z, ?y и ?yz можно получить, используя решение Фламана для сосредоточенной силы в условиях плоской деформации. Для этого необходимо проинтегрировать выражения для напряжений от действия элементарных сил (pdy ?1).
b
p
Y
?
?
?’
?z ?zy
?y
?yz М Z
? - угол видимости, ? = ?/2 + ?’ ( где ?’ – угол, составляемый крайним лучом с вертикалью).
Получены следующие выражения для напряжений:
;
; (3.18)
.
Так как напряжения не зависят от деформационных характеристик среды, можно составить таблицу для определения коэффициентов влияния и представить выражения для составляющих напряжений в более простом виде:
?z = Kz?p;
?y = Ky?p; (3.19)
?yz = Kyz?p.
Значения коэффициентов влияния Kz, Ky и Kyz определяются в зависимости от относительных координат z/b и y/b, где b – ширина полосы загружения.
Главные напряжения действуют по площадкам, где касательные напряжения равны нулю. Для таких площадок ? = 0. Выражения для главных напряжений были получены Митчелом в виде:
,
, (3.20)
где ? – угол видимости полосы загружения в радианах.
Направление действия большего главного напряжения ?1 совпадает с биссектрисой угла видимости.
Линии равных напряжений (изобары)
Напряжения ?z Напряжения ?zy
Эпюры напряжений по вертикальным и горизонтальным сечениям при разных значениях z и y:
b b
p p
Y Y
z = 0,5b
z =b
z =2b
y =0 y=0,5b y=b Z
Z
4. Влияние неоднородности напластований
грунтов на распределение напряжений
Если основание сложено их двух или большего числа слоев грунта, обладающих различной сжимаемостью, это оказывает влияние на характер распределения напряжений.
Если на некоторой глубине залегает практически несжимаемый слой, то это вызывает концентрацию напряжений ?z в вышележащем грунте (эпюра 2).
Если подстилающий слой обладает большей сжимаемостью, чем несущий, то в вышележащем грунте будет наблюдаться рассеивание напряжений ?z по оси нагрузки (эпюра 3). Эпюра 1 показывает распределение напряжений в однородном полупространстве.
p
3 2
1
5. Напряжения от действия собственного веса
грунта
Для нахождения вертикального напряжения от действия веса грунта на глубине z мысленно вырежем столб грунта до этой глубины с единичной площадью основания и найдем суммарное напряжение ?zg от веса этого столба:
, (3.21)
где n – число слоев грунта в пределах глубины z ; ?i – удельный вес грунта i - го слоя; hi – толщина i - го слоя.
Удельный вес водопроницаемых грунтов (пески, супеси), залегающих ниже уровня грунтовых вод, принимается с учетом взвешивающего действия воды по формуле:
, (3.22)
где ?s – удельный вес твердых частиц грунта; ?w – удельный вес воды; е – коэффициент пористости грунта.
Если водопроницаемый слой подстилается водоупорным слоем в виде плотных глин, на кровлю водоупора передается гидростатическое давление воды ?w? h3 и на эпюре давления появляется уступ.
Горизонтальные напряжения от собственного веса грунта определяются как
, (3.23)
где ? – коэффициент бокового давления грунта в состоянии покоя.
Касательных напряжений в массиве от действия собственного веса грунта не возникает (?xy = ?xz = ?yz = 0) .
Значение коэффициента бокового давления грунта находится из выражения
. (3.24)
Здесь ? – коэффициент Пуассона грунта.
?1h1 h1
z h2
WL
h3
?2h2
?wh3 h4
ЛИТЕРАТУРА
Механика грунтов, основания и фундаменты. – Л.: Стройиздат, 1988 Механика грунтов, основания и фундаменты. Учебное пособие под ред. – М., Высшая школа, 2002 Основы механики грунтов. Учебное пособие. Воронеж, 2006.
Вопросы для контроля знаний
Какая теория применяется в механике грунтов для определения напряжений в грунтах? Какова постановка задачи Буссинеска о действии сосредоточенной силы? Какие значения напряжений ?R и ?z полученны в задаче Буссинеска? Как распределяются в полупространстве напряжения ?z от действия вертикальной сосредоточенной силы? Как определяется напряжение в осевой точке от действия нагрузки, распределенной по прямоугольной площади? Как определяется напряжение в угловой точке от действия нагрузки, распределенной по прямоугольной площади? Каким методом определяются напряжения от распределенной нагрузки в произвольных точках? Как определяются напряжения ?z, ?y и ?yz от действия равномерно распределенной полосовой нагрузки? Как определяются главные напряжения ?1 и ?2 от действия равномерно распределенной полосовой нагрузки? Как влияет неоднородность напластований на распределение напряжений? Как определяются напряжения от действия собственного веса грунта?