Занятие «Молекулярная физика»

ЗАНЯТИЕ «Молекулярная физика»

Задача 1 (Олимпиада «Физтех-2015). В тонкостенную колбу впаяна длинная тонкая стеклянная трубка постоянного внутреннего сечения (см. рис.). В трубке находится капелька ртути, отделяющая воздух в колбе от окружающего воздуха. Изменение температуры окружающего воздуха при постоянном атмосферном давлении приводит к смещению капельки - получаем газовый термометр. При температуре t1=17 ?C капелька находится на расстоянии L1 =20 см от колбы, а при температуре t2=27 ?C - на расстоянии L2=30 см. Какую минимальную температуру можно измерить этим термометром? Атмосферное давление считать неизменным.

Решение. Так как давление окружающего воздуха не изменяется, то и давление внутри колбы также не изменяется. Поэтому процессы с заданным в колбе воздухом можно считать изобарным. Будем считать, что объём воздуха внутри колбы равным V0+LS, где V0 — это объём шарообразной по рисунку части колбы, L — длина трубки от колбы до капельки ртути, S — площадь сечения трубки. Понятно, что минимальной температуре Tmin, которую можно измерить с помощью этого газового термометра, соответствует положение ртутной капельки у основания трубки в месте её соединения с колбой. Объём воздуха равен при этом V0. Тогда в полном соответствии с законом Гей-Люссака и . Преобразуем эти уравнения

и

и

Разделив одно уравнение на второе, получим

И, наконец,

Ответ:

Задача 2

Расположенная горизонтально, запаянная с обоих концов стеклянная трубка разделена столбиком ртути на две равные части. Длина каждого столбика воздуха 20 см. Давление нормальное. Если трубку повернуть вертикально, ртутный столбик опустится на 2 см. Определить длину столбика ртути.

Дано:

l=20 см, ?l=2 см, h??

Решение задачи:

С газом, расположенным по обе части от столбика ртути, будет происходить изотермический процесс (T=const). Запишем для обоих столбиков газа закон Бойля-Мариотта, учитывая, что объем газа можно считать как произведение площади сечения на длину столбика (концевыми сферическими участками пренебрегаем).

p0Sl=p1S(l+?l)  (1)

p0Sl=p2S(l—?l)  (2)

Выразим из формулы (1) и (2) давления p1 и p2:

p1=p0 l /(l+?l)

p2=p0l /(l—?l)

Когда трубку расположат вертикально, давление, оказываемое верхним столбиком газа, будет передаваться ртутью на нижний столбик газа, поэтому справедливо:

p1+?gh=p2

Подставим в эту формулу полученные выражения для p1 и p2 и выразим искомую высоту h:

p0l /(l+?l)+?gh=p0l /(l—?l)

h=p0 /(?g) ·{ (l(l+?l)—l(l—?l) /(l2—?l2)}=p0 /(?g)·{ (l2+l??l—l2+l??l) /(l2—?l2)}

h=2p0?l??l / (?g(l2—?l2)

Для получения численного ответа подставим исходные данные в системе СИ:

h=2?105?0,2?0,02 /(13600?10?(0,22—0,022)=0,1485м?0,15м

Ответ: 0,15 м.

Задача 3

Посередине откачанной и запаянной с обоих сторон горизонтально расположенной трубки длиной 1 м находится столбик ртути длиной 20 см. Если трубку поставить вертикально, столбик ртути сместится на расстояние 10 см. До какого давления была откачана трубка?

Дано:

L=1 м, h=20 см, ?l=10 см, p0??

Решение задачи:

Из условия равновесия:

ИЛИ

Посередине откачанного и запаянного с обеих концов капилляра, расположенного горизонтально, находится столбик ртути длиной l = 20 см. Если капилляр поставить вертикально, то столбик ртути переместится на ?l = 10 см. До какого давления p0 был откачан капилляр? Длина капилляра L = 1 м.

l = 20 см = 0,2 м ?l = 10 см = 0,1 м L = 1 м ?=28•10-3кг/моль V=4л=4•10-3м3 Т1=20°С=293 К Т2 = 40 °С = 313 К p0 - ?

Решение: Длины при горизонтальном положении капилляра Длины при постановке капилляра вертикально Объемы Уравнение Менделеева - Клапейрона или можно сразу записать из закона Бойля-Мариотта Откуда С другой стороны где - давление столба ртути Тогда Ответ:

Задача 4

Открытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной 60 см опускают в сосуд с ртутью на 1/3 длины. Затем, закрыв верхний конец трубки, вынимают ее из ртути. Какова длина оставшегося в трубке столбика ртути, если атмосферное давление нормальное?

Дано:

Решение задачи:

Второй корень не может быть решением, поскольку длина столбика ртути не может быть длиннее самой трубки.

Ответ: 0,12 м.

Задача 5

В стеклянной трубке находится столбик ртути длиной 10 см. Когда трубка расположена вертикально открытым концом вверх, длина воздушного столбика в закрытом конце 8 см. Какой будет длина воздушного столба, если трубку повернуть открытым концом вниз? Атмосферное давление 98,6 кПа, считать, что ртуть не вытекает.

Дано:

l=10 см, L1=8 см, p0=98,6 кПа, L2??

Решение задачи:

Для понимания того, что происходит с газом в этой задаче, мы приведем рисунок.

Когда трубку будут переворачивать, над газом, запертым ртутью, будет производиться изотермический процесс (T=const). Запишем закон Бойля-Мариотта, которому подчиняются все изотермические процессы:

p1V1=p2V2

Если объемом сферических концов трубки можно пренебречь, то объем V1и V2, занимаемый газом, можно вычислять как объем цилиндра:

V1=SL1

V2=SL2

Если эти формулы подставить в закон Бойля-Мариотта и выразить искомую длину L2, то получим:

p1SL1=p2SL2?p1L1=p2L2

L2=p1L1 /  p2  (1)

Глядя на рисунок, можно догадаться, что давления p1 и p2 можно найти, используя закон Паскаля:

p0+?gl=p1

p2+?gl=p0

Или, что тоже самое:

p0+?gl=p1

p0—?gl=p2

Поделив верхнее выражение на нижнее, получим:

p1/p2=p0+?gl /(p0—?gl)

Подставим полученное отношение в формулу (1):

L2=L1(p0+?gl) /(p0—?gl)

Теперь осталось подсчитать численный ответ. Напомним, что плотность ртути ?=13600 кг/м3. Численные данные подставляем, естественно, в системе СИ.

L2=0,106м

Задача 6

В трубке длиной 1,73 м, заполненной газом, находится столбик ртути длиной 30 мм. Когда трубка расположена вертикально, ртуть делит трубку на две равные части. Давление газа над ртутью 8 кПа. На какое расстояние сдвинется ртуть, если трубку положить горизонтально?

Дано:

L=1,73 м, h=30 мм, p1=8 кПа, ?l??

Решение задачи:

р2 + pgh = p1;

Задача 7

Открытую стеклянную трубку длиной 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают пальцем и вынимают. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление равно 750 мм. рт. ст.

Дано: L = 1 м, ро = 750 мм рт. ст. Определить х - ?

Рис. 2.6.

При подъёме трубки ртуть будет вытекать из нее до тех пор, пока разность сил давления воздуха снаружи и внутри трубки не уравновесит силу тяжести столбика ртути, оставшегося в трубке. В этом случае давление внутри трубки будет

р = po ­ ?gx (1), где ? – плотность ртути, х – длина оставшегося в трубке столбика ртути.

Уравнение (1) имеет два неизвестных: р и х. Для решения задачи строим второе уравнение: воспользуемся законом Бойля - Мариотта, считая температуру и массу воздуха в трубке постоянными. Для этого рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Первое состояние: объём воздуха V1 = ?L·S, исходное давление р1 = ро. Второе состояние : объём V2 = (L - х)·S, конечное давление р2 = р = po ­ ?gx. Запишем уравнение закона Бойля - Мариотта:

р1V1 = р2V2 => ?ро LS = р(L – х)S (2), где S – площадь поперечного сечения трубки.

Решаем совместно уравнения (1) и (2). Подставим давление р из (1) в уравнение (2), получим:

?ро L = (ро – ?gх)(L – х) (3).

Для упрощения решения уравнения (3) выразим атмосферное давление ро как ро = ?gН, где Н = 750 мм. После упрощения получим квадратное уравнение

Второй корень этого уравнения превышает длину трубки и нам не подходит.

               F=105?3,14?0,0120,080,25—0,08=14,78Н?15Н

+