Головастик 2016
5 класс. Серия 1. Можно – нельзя.
На столе лежат в ряд пять монет: средняя — вверх орлом, а остальные — вверх решкой. Разрешается одновременно перевернуть три рядом лежащие монеты. Можно ли при помощи нескольких таких переворачиваний все пять монет положить вверх орлом? Можно ли на клетчатой доске размера 10 ? 10 расставить 26 шахматных королей, чтобы они не рубили друг друга? Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 7?7, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна соседствовать ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 31 клетку. а) Повторите его успех. б) А можно ли закрасить 32 клетки; в) а 33 клетки? 
В алфавите языка племени КЮ две буквы: Ю и К, причем этот язык обладает интересным свойством: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы ЮК или КЮ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не меняется при добавлении в любое место слова буквосочетаний ЮЮ, ЮЮККЮЮ и ЮККЮ. Можно ли утверждать, что слова КЮЮ и КЮКЮ имеют одинаковый смысл? В алфавите языка племени УЫУ всего две буквы: У и Ы, причем этот язык обладает такими свойствами: если из слова выкинуть стоящие рядом буквы УЫ, то смысл слова не изменится. Точно так же смысл слова не изменится при добавлении в любое место слова буквосочетания ЫУ или УУЫЫ. Можно ли утверждать, что слова УЫЫ и ЫУУ имеют одинаковый смысл? Аня, Боря и Вася составляли слова из заданных букв. Все составили разное число слов: больше всех - Аня, меньше всех - Вася. Затем ребята просуммировали очки за свои слова. Если слово есть у двух игроков, за него дается 1 очко, у одного игрока - 2 очка, слова, общие у всех трех игроков, вычеркиваются. Может ли случиться, что больше всех очков набрал Вася, а меньше всех - Аня? 
По кругу расставлены числа 12, 7, 23, 15, 13, 5. За один ход можно уменьшить одно число и на столько же увеличить другое Можно ли за несколько ходов получить числа 7, 13, 4, 15, 5, 12? Расположите в кружочках (вершинах правильного десятиугольника) числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности). Разменный автомат меняет одну монету на пять других. Можно ли с его помощью разменять одну монету на 207 монет? Найдите 10 натуральных чисел обладающих тем свойством, что их сумма делится на каждое из них.
