РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ.
План лекции
10. Расчет электрических цепей. Методы операционного исчисления широко используются при расчетах процессов, протекающих в электрических цепях. Пусть 
и 
, соответственно,
ток и напряжение в цепи. Применение операторного метода основано на справедливости законов Киргофа для операторных тока 
и напряжения 
.
На основании закона Ома для основных элементов электрической цепи могут быть записаны следующие соотношения:
для сопротивления R,
для индуктивности L
и
для емкости C.
Переходя к изображениям, отсюда получаем
Используя закон Ома в операторной форме, для произвольного участка цепи можно записать
, (9)
где 
– операторное сопротивление указанного участка цепи.
Для участков с сопротивлением R, индуктивностью L или емкостью C при нулевых начальных условиях операторное сопротивление имеет, соответственно, вид:
.
При ненулевых начальных условиях к имеющимся в цепи источникам э. д.с. добавляются дополнительные источники энергии. Величины э. д.с. дополнительных источников определяются запасами энергии в индуктивности и емкости и равны в операторном виде, соответственно, 
и 
.
Соотношение (9) является основным для расчетов заданного участка цепи в операторной форме.
Пример 9. В контур, состоящий из последовательно соединенных индуктивности L, емкости C и сопротивления R (рис. 1) включается э. д.с. E. Ток в контуре и заряд конденсатора в начальный момент времени равны нулю. Определить зависимость тока от времени.
Решение. Так как 
, то, используя соотношение (9), находим
, (10)
где операторное сопротивление 
цепи, изображенной на рис. 2, имеет вид
,
в силу нулевых начальных условий.
Подставляя полученное выражение для 
в (10), находим
. (11)
Уравнение 
имеет корни 
.
Обозначим 
, 
, тогда 
, 
. Запишем 
из (11) в форме
Перейдя к оригиналам, получим
. (12)
Если 
, т. е. 
, то корни 
действительные и формула (12) пригодна для вычислений. Если 
, то корни 
комплексные. Обозначим 
. Тогда 
, и, принимая во внимание, что 
, имеем
.
В этом случае в контуре происходит затухающий колебательный процесс с частотой 
. В критическом случае, т. е. когда 
, значение 
можно получить из формулы (12) с помощью предельного перехода при 
. Используя правило Лопиталя, находим:
. ?
Контрольные вопросы:
Составление операторного уравнения для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Применение формулы Дюамеля к решению задачи Коши. Решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений. Применение методов операционного исчисления к расчету процессов, протекающих в электрических цепях.Литература:
1. Минюк, математика для инженеров: учебник: В 2 т. Т.2/, , ; под общей ред. . ? Минск, ООО “Элайда”: 2004. ? 592 с
2. Математика для инженеров: учебник: В 2 т. Т.2/, , ; под научн. ред. . ? Минск, ООО “Элайда”: 2006. ? 495 с.
Жевняк, математика. Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы / , . ? Минск: ИРФ “Обозрение”, 1997. Бярозкіна, і інтэгральныя ўраўненні:прыклады і задачы. Вуч. дап. / іна, С. А Мінюк.– Гродна, 2002. – 689 с.