Классификация текстовых задач

Классификация текстовых задач.

учитель математики

МКОУ «Средняя школа №1»

г. Фролово

Изучение текстовых задач происходит в основной школе, но рассматриваются они недостаточно глубоко, таким образом, приобретённые в основной школе навыки и знания решения текстовых задач со временем теряются. Исходя из этого,  чтобы достойно сдать ОГЭ и ЕГЭ, а именно, верно решить текстовые задачи, нам необходимо рассмотреть классификации этих задач, систематизировать и ликвидировать пробелы в знаниях по математике.

Текстовые задачи мы можем условно классифицировать по типам: задачи на числовые зависимости; задачи, связанные с понятием процента; задачи на «движение», «концентрацию смесей и сплавов», «работу» и т. д. По методу решения: алгебраический метод и геометрический метод. Решение текстовых задач делится на несколько этапов:

выбор неизвестных; составление уравнений или систем уравнений, а в некоторых случаях — систем неравенств; нахождение неизвестных или нужной комбинации неизвестных; отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Иногда при решении  сложных задач трудно с самого начала определить количество вводимых неизвестных. Выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Поэтому все соотношения должны из конкретных условий задачи, т. е. необходимо каждое условие представить в виде уравнения или неравенства. Так же необходимо обратить внимание на то, что число переменных, входящих в неравенства или уравнения, может оказаться достаточно большим, однако в дальнейшем, при решении уравнений или неравенств, «лишние» переменные последовательно исключаются.

Бывают случаи, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных, но и нередки задачи, в которых число неизвестных больше числа уравнений. Если при этом мы использовали все условия задачи, то необходимо прочитать внимательно ещё раз условие и понять требование задачи, т. к. может оказаться, что надо отыскать не все неизвестные, а всего лишь их соотношение.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей.

1.  Задачи на движение

Системы уравнений, которые составляются на основании условий задач на движение, как правило, содержат такие величины, как скорости движущихся объектов, расстояние, время, ускорение, а также скорость течения воды (движение по реке).

Решая подобные задачи для различных типов движения нам необходимо определить некоторые особенности.

Для равномерного движения по прямой будут характерны следующие особенности:

Движение на отдельных участках считается равномерным, а пройденный путь определяется по формуле , где - скорость, - время. Повороты движущихся тел считаются мгновенными, т. е. происходят без затрат времени. При этом скорость (если задана в условии) также меняется мгновенно. Скорость считается всегда величиной положительной. При движении объекта по течению реки, скорость течения которой равна , а собственная скорость объекта в стоячей воде равна , скорость объекта относительно берега будет равна . При движении объекта против течения реки, его скорость относительно берега будет равна , при этом должно выполняться неравенство . Когда в условии задачи говорится о движении плотов, то можно считать, что плот имеет ту же скорость, что и течение реки.

Исследовав типы задач для различных типов движения из Открытого банка задач ЕГЭ по математике, мы можем разделить их на две группы – задачи на движение в одном направлении, задачи на встречное движение и движение туда и обратно, и составить для каждой группы одну общую модель решения данных задач.

В задачах на движение в одном направлении за неизвестную величину чаще всего, за неизвестную наиболее рационально принимать наименьшую из величин или то, что необходимо найти. При этом не стоит забывать о том, что нам необходимо указать дополнительное условие, т. е. например, если это скорость, то она не может быть отрицательной или равной нулю. При решении задач с большим количеством информации целесообразно использовать таблицы.

Таким образом, при решении любых текстовых задач на движение наиболее рационально принимать в качестве неизвестных величин расстояние, скорость или наименьшую из величин, что приводит к более короткому решению. Если после составления уравнений, полученная система не решается, то необходимо попробовать выбрать другие неизвестные. Количество неизвестных не имеет значения, правильное составление системы превыше всего. Также, нужно обращать особое внимание на единицы измерения – в течение всего решения они обязательно должны быть одинаковыми. А именно, если это часы, то на протяжении всей задачи время должно выражаться в часах, а не в минутах, так и, километры и метры не должны применяться в одном решении и т. п.

2.  Задачи на совместную работу

Задачи такого типа содержат в себе информацию о выполнении некоторой работы несколькими субъектами (рабочими, насосами, механизмами и т. п.). Объём работы в таких задачах обычно не указывается и не является искомым, а также предполагается, что выполняемая работа проводиться равномерно, т. е. с постоянной производительностью для каждого субъекта. 

В задачах на работу, системы уравнений содержат следующие величины:

– время выполнения работы; – производительность, т. е. работа, производимая за единицу времени; – работа, выполняемая за время.

Эти три величины связаны соотношением

В подобных задачах, в качестве работы может выступать объём жидкости, выливаемой из бассейна или наливаемой в бассейн. Обычно величина выполняемой работы нас не интересует, поэтому удобнее принимать объём всей работы или бассейна за единицу, т. е. .

Исследуя прототипы из Открытого Банка задач ЕГЭ по математике на движение и производительность, нельзя не заметить, что все задачи данного типа можно разделить на две группы – задачи на работу и задачи на трубы. Для каждой из них мы можем составить  общие модели решения типовых задач, которые знать будет очень полезно.

В задачах «на детали» за неизвестные, как правило, надо принимать производительность – её роль такова же, как роль скорости в задачах на движение. Рассмотрим на одной задаче два способа решения, сначала примем за неизвестную величину – время, а потом – производительность и посмотрим, в чём разница решения при выборе разных неизвестных.

В основном задачи на работу решаются по такой же логике, как и задачи на движение.

В задачах «на трубы», из которых что-нибудь льётся (к примеру, вода), модель решения схожа с задачами «на работу». Разница лишь в том, что здесь производительность трубы – это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени. Иногда в подобных задачах за неизвестные необходимо одновременно принять и объём бассейна, производительность труб, время наполнения и слива бассейна каждой трубой. Из-за большого количества неизвестных задача на первый взгляд может показаться очень трудной и нерешаемой, но это не так.

Решая задачи «на работу», нужно  принимать за неизвестные величины производительность (работа, производимая за единицу времени), но бывают и исключения, где необходимо за неизвестную, например, выбрать время. Иногда встречаются такие задачи, в которых не указывается, какая работа выполняется. В таких задачах, будет удобнее ввести самим единицу работы, равную всей работе.

3.  Задачи на  концентрацию, сплавы и смеси

В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Решение задач основано на использовании следующих определений:

массовая концентрация вещества в смеси; процентное содержание вещества в смеси; объёмная концентрация вещества в смеси; объёмное процентное содержание компоненты.

Так же необходимо знать следующие допущения:

Все рассматриваемые смеси (растворы, сплавы) однородны. Не делается различия между литром как единицей ёмкости и литром как единицей массы. Отсутствуют химические и другие реакции между компонентами раствора. Задачи на процентный прирост и вычисление «сложных процентов»

Решение задач на процентный прирост и вычисление «сложных процентов» тесно связано с тремя понятиями:

нахождение части от целого; восстановление целого по известной его части; нахождение процентного прироста.

Решение задач этого типа основано на использовании следующих определений:

абсолютный прирост; относительный прирост; процентный прирост; средний процентный прирост.

В задачах на проценты, которые встречаются в ЕГЭ в блоках , часто наблюдаются такие явления, как повышение и понижение цен на, продажа с наценкой , нахождение части от целого и т. д. В блоке иногда встречаются задачи, решающиеся в одно действие, где информации условие несёт немного и соответственно, представлять её в виде таблицы не обязательно, чего не скажешь о блоке . Здесь составители заданий из-за большого объёма условия предлагают нам уже готовые, заполненные таблицы. Правда в некоторых случаях так или не так всё равно приходиться некоторые явления представлять в виде дополнительной таблицы.