ОТВЕТЫ
1. Теннисный шарик, падающий с высоты h0 = 1 м, после удара о неподвижную горизонтальную ракетку подпрыгивает на высоту h1 = 0,8 м. С какой скоростью и нужно двигать ракетку навстречу шарику в момент удара, чтобы, падая с той же высоты, после отскока от ракетки он снова подпрыгнул на высоту h0? Считайте, что потери механической энергии происходят только при соударении (а не за счёт трения шарика о воздух) и доля теряемой энергии всегда одна и та же. Масса ракетки значительно больше массы шарика.
Решение: Обозначим скорость шарика до удара v, после удара – v'. Тогда
, (6)
Так как доля теряемой энергии в системе отсчёта, где ракетка покоится, всегда одна и та же, то это соотношение верно для любых v и v'.
Пусть перед ударом ракетка движется со скоростью u, а теннисный шарик, летящий ей навстречу, со скоростью v0. Перейдём в систему отсчёта, связанную с ракеткой. В ней шарик движется со скоростью (v0 + и). Скорость v0 найдём из закона сохранения энергии: 
. Согласно (6), скорость шарика относительно ракетки после удара 
. Чтобы после отскока от ракетки шарик снова подпрыгнул на высоту h0, его скорость относительно Земли должна быть равна v0, то есть
.
Таким образом,
,
откуда
=0,25 м/с.
2. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длины l = 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью vo он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в ? = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь.
Решение.
В системе двух тел «кузнечик + соломинка» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса, откуда следует, что в неподвижной системе отсчета справедливо равенство:
Mvocos? = Mu,
где m и М ? массы кузнечика и соломинки, u — скорость соломинки.
Отсюда
u = mvocos?/М.
Время to, которое кузнечик проводит в полете, легко найти из уравнений кинематики как для тела, подброшенного вверх со скоростью vosin?
to = 2vosin?/g.
За это время перемещение соломинки влево и горизонтальное перемещение кузнечика вправо примут следующие значения (см. рисунок):
Sc = uto = (2vo2/g)·(m/M)·sin?cos?, Sк = votocos? = (2vo2/g)sin?cos?.
Для того, чтобы кузнечик при приземлении попал точно на правый конец соломинки, эти величины должны быть связаны соотношением:
Sc + Sк = l.
Объединяя записанные равенства и учитывая, что m/М = ?, находим величину начальной скорости кузнечика:
vo = v{gl/(sin2? ? (1 + ?))}.
Эта величина минимальна при sin2? = 1, т. е. при ? = 45°.
Таким образом, ответ имеет вид:
vo = v{gl/(1 + ?)} = 1,1 м/с.
3.Вертушка (тонкая пластина с большим количеством отверстий) прикреплена к вертикальной оси (рис. 8). Такую вертушку раскрутили до угловой скорости ?0 и отпустили. На любую единичную площадку пластины (но не на отверстия) действует сила сопротивления воздуха, создающая избыточное давление, которое, из-за наличия в вертушке отверстий, пропорционально скорости этой площадки. Коэффициент пропорциональности а для всех элементарных площадок одинаков. Вычислите число оборотов N, которое совершит вертушка до полной остановки. Масса единичной площадки пластины (без дыр) равна ?. Трением в опорах оси пренебречь.
Решение:
Рассмотрим маленькую площадку S без отверстий отдельно от вертушки. Пусть её угловая скорость равна ?, и она находится на расстоянии R от оси вращения, следовательно, линейная скорость равна v = ?R. Тогда можно связать тангенциальное ускорение площадки с силой сопротивления:
, или 
.
Рассмотрим малый промежуток времени ?t. Из предыдущего выражения следует, что для этого промежутка выполняется соотношение:
,
где ?v – изменение скорости за время ?t, L – путь, пройденный площадкой за время ?t. Для движения по окружности ?v = ??R, L = ??R, где ?? – изменение угловой скорости, а ?? – угол, на который поворачивается площадка за время ?t, откуда
,
поэтому соотношение для угла поворота ? площадки:
,
и окончательно
.
Так как этот результат не зависит от радиуса N, он справедлив для любой площадки, а поэтому и для всей вертушки.
4. Под колокол воздушного насоса поместили завязанный резиновый воздушный шарик, содержащий некоторое количество воздуха (рис. 9). Затем насосом стали откачивать воздух из-под колокола. При достижении вакуума под колоколом натяжение резины достигло предела прочности, и шарик (круглой формы) лопнул. Вычислите отношение массы воздуха, который был в шарике, к массе самого шарика, если предел прочности резины (натяжение, при котором происходит разрыв) ? = 6·107 Н/м2, её плотность ? = 1200 кг/м3. При растяжении плотность резины не меняется. Считайте, что температура воздуха в шарике равна t = 27 °С, а его молярная масса ? = 29 г/моль.
Решение:
Пусть радиус шарика перед тем, как он лопнул, равен r, а толщина его стенок – d, V – объём стенок шарика. Рассмотрим маленький кусочек поверхности (рис. 20). Условие его равновесия:
,
где р – давление воздуха в шарике. Поскольку r1 = r sin ?, то
. (7)
Из условия постоянства плотности резины pV = 4??r2d, откуда с учётом (7)
.
Уравнение Клапейрона-Менделеева:
, или 
, откуда 
.
Масса шарика равна М = ?V, отсюда находим искомое отношение:
.
5.В электрической цепи, схема которой приведена на рис. 10, сопротивления резисторов равны: R1 = 1,5 кОм, R2 = 2,87 кОм, R3 = = 3,62 кОм. Сила тока, протекающего через амперметр, равна I = 2 мА. Какое напряжение показывает вольтметр, включённый между клеммами D и Е? Вольтметр и амперметр считайте идеальными.
Решение:
Пусть на участке АС сила тока равна I1, на участке AF – I2, а на участке CF – I3. Мысленно поменяем полярность подключения источника ЭДС. При этом схема перейдёт сама в себя, сила тока на участке BF будет равна I1, а на участке ВС будет равна I2. Поскольку в исходной схеме все токи будут течь в противоположную сторону, а силы токов будут такими же, то на участке СВ сила тока равна I2, а на участке ЕВ равна I1. По правилу Кирхгофа для контура ADEA
I1R1 + I2R2 – UDE – I2R2 = 0,
откуда
UDE = I1R1 = 3 В.
