Пересечение прямой и плоскости

ЗАДАНИЕ

2 РУБЕЖНОГО КОНТРОЛЯ

по дисциплине «Инженерная графика»

для специальности  5В073200 - «Стандартизация, сертификация и метрология»

тема : Пересечение прямой и плоскости

Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, она пересекает плоскость.

Линия пересечения двух плоскостей – прямая линия. Рассмотрим сначала частный случай (рис. 1), когда одна из пересекающихся плоскостей параллельна горизонтальной плоскости проекций (? ?1, f0? Х). В этом случае линия пересечения а, принадлежащая плоскости ?, будет также параллельна плоскости ?1, (рис. 3.9. а), т. е. будет совпадать с горизонталью пересекающихся плоскостей (а ? h).

Если одна из плоскостей параллельна фронтальной плоскости проекций (рис. 3.9. б), то линия пересечения а, принадлежащая этой плоскости, будет параллельна плоскости ?2 и будет совпадать с фронталью пересекающихся плоскостей (а ? f).

.

а

.

б

Рис. 1. Частный случай пересечения плоскости общего положения с плоскостями: а – горизонтального уровня; б – фронтального уровня

Рассмотрим пример нахождения точки пересечения прямой АВ c плоскостью треугольника DEF представленный на рис. 2

Для нахождения точки пересечения через фронтальную проекцию прямой А2В2 проведена фронтально-проецирующая плоскость ? которая пересекла треугольник в точках M и N. На фронтальной плоскости проекций (?2) эти точки представлены проекциями M2, N2. Из условия принадлежности прямой плоскости на горизонтальной плоскости проекций (?1) находятся горизонтальные проекции полученных точек M1 N1. В пересечении горизонтальных проекций прямых А1В1 и M1N1 образуется горизонтальная проекция точки их пересечения (К1). По линии связи и условиям принадлежности на фронтальной плоскости проекций находится фронтальная проекция точки пересечения (К2).

.

Рис. 2. Пример определения точки пересечения прямой и плоскости

Видимость отрезка АВ относительно треугольника DEF определена методом конкурирующих точек.

На плоскости ?2 рассмотрены две точки NEF и 1АВ. По горизонтальным проекциям этих точек можно установить, что точка N расположена ближе к наблюдателю (YN>Y1 ), чем точка 1 (направление луча зрения параллельно S). Следовательно, прямая АВ, т. е. часть прямой АВ (К1) закрыта плоскостью DEF на плоскости ?2 (ее проекция К212 показана штриховой линии). Аналогично установлена видимость на плоскости ?1.

Задача на определение точки пересечения прямой с плоскостью сводится к следующему:

1) проведению вспомогательной плоскости (Вспомогательную плоскость рекомендуется выбирать такую, которая даст наиболее простое графическое решение задачи) через данную прямую;

2) нахождению линии пересечения вспомогательной плоскости с данной плоскостью;

3) определению точки пересечения данной прямой с линией пересечения плоскостей, а следовательно, с данной плоскостью.

Пример 3. Даны: треугольник ABC и прямая NM; требуется определить точку их пересечения

Возьмем в качестве вспомогательной плоскости горизонтально - проектирующую плоскость ?, тогда горизонтальная проекция о сольется с горизонтальной проекцией N1M1 прямой NM и пересечет проекции сторон треугольника в точках Е1 и F1 . Отрезок Е1F1 будет горизонтальной проекцией линии пересечения. Затем находим фронтальную проекцию линии пересечения: при помощи вертикальных линий связи получаем точки Е2 и F2, проводим через них прямую E2F2, которая будет фронтальной проекцией линии пересечения.

Прямая E2F2 пересекает прямую N2М2 в точке К2. Точка К2 будет фронтальной проекцией точки пересечения прямой MN с прямой EF; горизонтальную проекцию K1 этой точки определяем при помощи вертикальной линии связи.

Точка К (K1, К2) будет точкой пересечения данной прямой MN с данным треугольником ABC, как одновременно им принадлежащая, потому что прямая MN пересекается в ней с прямой EF, лежащей в плоскости треугольника ABC.

Рис. 3. Примеры пересечения прямой и плоскости

Рассматривая на комплексном чертеже одноименные горизонтальные проекции E1 и F1 устанавливаем, что точка Е1 имеет глубину большую, чем точка F1 т. е. точка Е удалена от плоскости П2 дальше, чем точка F. Следовательно, точка Е при виде спереди (в плоскости П2) является видимой. По одноименным фронтальным проекциям прямых видно, что прямая АВ в точке Е расположена перед прямой CD.

По расположению на фронтальных проекциях точек М2 и N2 видно, что высота точки М2 больше высоты точки N2, т. е. точка М находится дальше от плоскости П1 чем точка N. Следовательно, точка М при виде сверху (в плоскости П1) является видимой. Рассматривая одноименные горизонтальные проекции прямых, заключаем, что прямая CD в точке М находится над прямой АВ.

Разберем, как на комплексном чертеже пересечения прямой с треугольником следует определять видимые участки прямых.

а) Точка Е принадлежит отрезку NK; точка F - стороне АВ треугольник. Надо определить, какой из отрезков, NK или AB, находится перед другим.

Возьмем направление лучей зрения по стрелке 1 (рис.3,a), горизонтальная проекция - точка Е1 - находится дальше от оси х12, чем проекция точки F1 отсюда следует, что точка Е является видимой. Следовательно, на виде спереди отрезок, проходящий через точку Е, будет находиться перед стороной АВ треугольника AВС.

б) Точка Р принадлежит отрезку NК; точка Q - стороне АС треугольника. Надо определить, какой из отрезков, NK или АС, находится один над другим. Возьмем направление луча зрения по стрелке 11 (рис.3,б); фронтальная проекция - точка Р2 - находится дальше от оси х12, чем проекция точки Q2, отсюда точка Р2 является видимой и, следовательно, отрезок, проведенный через эту точку, будет находиться над стороной АС треугольника ABC.

ВАРИАНТЫ:

№ вар.	ХА	YА	ZА	ХB	YB	ZB	ХD	YD	ZD	ХE	YE	ZE	ХK	YK	ZK
1	117	90	9	52	25	79	68	110	85	135	19	36	14	52	0
2	120	90	10	50	25	80	70	110	85	135	20	35	15	50	0
3	115	90	10	52	25	80	64	105	80	130	18	35	12	50	0
4	120	92	10	50	20	75	70	115	85	135	20	32	10	50	0
5	117	9	90	52	79	25	68	85	110	135	36	19	14	0	52
6	115	7	85	50	80	25	70	85	110	135	20	20	15	0	50
7	120	10	90	48	82	20	65	80	110	130	38	20	15	0	52
8	116	8	88	50	78	25	70	85	108	135	36	20	15	0	52
9	115	10	92	50	80	25	70	85	110	135	35	20	15	0	50
10	18	10	90	83	79	25	67	85	110	0	36	19	121	0	52
11	20	12	92	85	89	25	70	85	110	0	35	20	120	0	52
12	15	10	85	80	80	20	70	80	108	0	35	20	120	0	50
13	16	12	88	85	80	25	75	85	110	0	30	15	120	0	50
14	18	12	85	85	80	25	70	85	110	0	35	20	120	0	50
15	18	90	10	83	25	79	67	110	85	0	19	36	121	52	0
16	18	40	75	83	117	6	67	20	0	0	111	48	121	78	86
17	18	75	40	83	6	107	67	0	20	0	48	111	121	86	78
18	117	75	40	52	6	107	135	0	20	86	48	111	15	68	78

Образец выполнения заданий:

ЛИТЕРАТУРА

1 Начертательная геометрия/ Под ред. Крылова  Н. Н. – М.,2000.-240с.

2 Машиностроительное черчение. – М.: 1988. – 351 с.

3  Инженерная графика: Учебник для средних специальных учебных заведений. 3-е изд.,испр. И дополн. – М.: Машиностроение, 2000. – с.  352: ил.

4  Задачи и задания по инженерной графике : учеб. пособие для студ. техн. спец. вузов / . — 2-е изд., стер. — М. : Издательский центр «Академия», 2007. — 128 с.