Методические указания к решению Тестов

Методические указания к решению Тестов:
Под вероятностью события А понимается отношение числа случаев (m), благоприятствующих данному событию А, к числу всех случаев (n) (равновозможных, единственно возможных и несовместимых, т. е., взаимно исключающих друг друга) и обозначают:
Р (А) = m / n.
Невозможному событию (m = 0) соответствует вероятность Р (А) = 0;
Достоверному событию (благоприятствуют все n возможных случаев) соответствует вероятность Р (А) = 1;
Случайному событию соответствует вероятность 0 < Р (А) < 1.
Полная группа событий – Несовместимые случайные события, сумма вероятностей которых = 1.
ПРИМЕР.
В партии, содержащей 100 деталей имеется
5 деталей с отклонением от нормы 0,05 от номинала;
10 деталей с отклонением от нормы 0,10 от номинала;
40 деталей с отклонением от нормы 0,15 от номинала;
35 деталей с отклонением от нормы 0,20 от номинала;
10 деталей с отклонением от нормы 0,25 от номинала.
Если размер взятой детали отличается от номинала не менее 0,15 и не более 0,20, то такая деталь может быть употреблена при сборке без пригонки.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что если взять из данной партии 1 деталь наудачу, то сборка будет произведена без пригонки.
Решение:
Случайным событием является появление той или иной детали при взятии её из партии.
Все события равно-возможны, единственно-возможны и несовместимы. Число всех таких случаев = 100.
Число случаев, благоприятствующих сборке без пригонки =
= Детали с отклонением от нормы 0,15 от номинала + Детали с отклонением от нормы 0,20 от номинала = 40 + 35 = 75.
Искомая вероятность:
Р (А) = m / n = 75 / 100 = 0,75.
Ответ на Пример:
Если взять из данной партии 1 деталь наудачу, то сборка будет произведена без пригонки с вероятностью = 0,75.
Задача:
В цехе работают 20 станков:
Станки марки «А» = 6 ед.;
Станки марки «В» = 4 ед.;
Станки марки «С» = 10 ед.
Вероятность того, что качество изделий произведенных на станке соответствует:
Станки марки «А» = 0,8;
Станки марки «В» = 0,7;
Станки марки «С» = 0,9.
Какой процент отличных изделий выпускает цех в целом?

Методические указания к решению Тестов:

Если имеется бесконечное множество равновозможных, единственно возможных и несовместимых случаев и всей совокупности их может быть дана количественная характеристика “S” - в некоторых мерах длины, площади и т. п., а части этой совокупности, благоприятствующей наступлению рассматриваемого события А может быть дана аналогичная характеристика “s” в виде значения в тех же мерах, то вероятность появления события А определяется отношением
Р (А) = s / S.
ПРИМЕР.
При выполнении некоторой разметочной операции наносится разметочная точка в пределах круга диаметром 1 мм. Центр круга – в начале координат.
Положение точки внутри разметочного круга предполагается равновозможным.
Операционный допуск = ± 0,2 мм по одной координатной оси и ± 0,3 мм по другой оси.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что разметочная точка окажется в пределах операционного допуска.

Решение:
Количественной характеристикой бесконечного множества всех возможных случаев является площадь круга. Площадь круга (S) = (? ? D2) / 4 = 0,78 мм2.
Количественной характеристикой бесконечного множества случаев благоприятствующих событию А, является площадь прямоугольника.
Площадь прямоугольника (s) = 0,4 ? 0,6 = 0,24 мм2.
Искомая вероятность:
Р (А) = s / S = 0,24 / 0,78 = 0,3077 ? 0,31.
Ответ на Пример:
Разметочная точка окажется в пределах операционного допуска с вероятностью = 0,31.

Задача
При выполнении разметочной операции наносится разметочная точка.
Операционный допуск представляет собой квадрат с длиной стороны = 1 мм.
Положение точки предполагается равновозможным внутри квадрата со стороной = 2 мм.
Центры квадратов совмещены.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что разметочная точка окажется вне пределов операционного допуска.

ПРИМЕР 

В партии, содержащей 6 деталей имеется
4 детали с отклонением от нормы 0,05 от номинала;
2 детали с отклонением от нормы 0,10 от номинала.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что если взять из данной партии 2 детали наудачу, то ни одной детали не будет с отклонением от нормы 0,05 от номинала.
Решение:
Число вариантов выбора любых 2 деталей из всех 6:
Cn k = C6 2 = (6!) / [(2!) ? (6 - 2)!] = (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6) / [(1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4)] =
= (5 ? 6) / (1 ? 2) = 15.
Число вариантов выбора 0 деталей с отклонением от нормы 0,05 от номинала из всех 4 с отклонением от нормы 0,05 от номинала:
Cn k = C4 0 = (4!) / [(0!) ? (4 - 0)!] = 1.
Одновременно,
Число вариантов выбора 2 деталей с отклонением от нормы 0,10 от номинала из всех 2 с отклонением от нормы 0,10 от номинала:
Cn k = C2 2 = (2!) / [(2!) ? (2 - 2)!] = 1.
Искомая вероятность:
Р (А) = (C4 0) ? (C2 2) / C6 2 = (1 ? 1) / 15 = 0,067.
Ответ на Пример 6.1:
Если взять из данной партии 2 детали наудачу, то вероятность того, что ни одной не окажется с отклонением от нормы 0,05 от номинала = 0,067.

Задача
В партии, содержащей 8 деталей имеется
4 детали с отклонением от нормы 0,05 от номинала;
4 детали с отклонением от нормы 0,10 от номинала.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что если взять из данной партии 3 детали наудачу, то ни одна из взятых деталей не будет с отклонением от нормы 0,05 от номинала.