Нахождение оригинала по изображению

НАХОЖДЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ

Теоремы разложения. Обратное преобразование Лапласа. Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позволяющие по заданному изображению находить соответствующий ему оригинал .

Теорема  1.  Если функция в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

то функция

является оригиналом, имеющим изображение , т. е.

Доказательство.  Ряд сходится в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки, т. е. существует такое R, что этот ряд сходится при . Тогда ряд сходится при .

Пусть . Ряд для сходится в замкнутом круге , сумма его непрерывна в этом круге и поэтому ограничена:

   

       Используя оценки Коши коэффициентов ряда Тейлора и предполагая, что , получаем

Следовательно, ряд для сходится при и функция является оригиналом. Применяя теперь формулу получим ?

       Теорема 2. Если – правильная рациональная дробь, знаменатель которой имеет лишь простые корни (нули) , то функция

               (4)

является оригиналом, имеющим изображение .

Доказательство. Отметим, что дробь должна быть правильной (степень многочлена ниже степени многочлена ); в противном случае не выполняется необходимый признак существования изображения (см. п. 10), т. е. не может быть изображением.

Разложим правильную рациональную дробь на простейшие:

,

где – неопределенные коэффициенты. Для определения коэффициента этого разложения умножим обе части этого равенства почленно на :

.

Переходя в этом равенстве к пределу при , получаем

.

       Итак, . Аналогично находим , .

Подставляя найденные значения в разложение , получим

.

Так как (см. пример 2 б))

,

то, на основании свойства линейности, имеем

?

Очевидно, что коэффициенты определяются как вычеты комплексной функции в простых полюсах:

.

Если – правильная дробь, но корни (нули) знаменателя имеют кратности соответственно, то оригинал изображения определяется формулой

               (5)

Теорему 2  можно сформулировать следующим образом:

Если изображение является дробно-рациональной функцией от p и – простые или кратные полюсы этой функции, то оригинал , соответствующий изображению , определяется формулой

.

Замечание 1. Если коэффициенты многочленов и действительны, причем знаменатель имеет комплексные корни, то каждой паре комплексно-сопряженных корней соответствуют слагаемые и , являющиеся также сопряженными величинами, а потому их сумма равна удвоенной действительной части каждой из них, т. е.

       .        (6)

Пример 5. Найти оригинал , если:

а) ;  б) .

       Решение. а) Имеем

На основании теоремы 1,

б) Воспользуемся теоремой 2 разложения, получим: , , , корни знаменателя и и, согласно формуле (4),

(Сравните с формулой (6).)  ?

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имеющее вид:

               (7)

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При  определенных условиях интеграл (7) вычисляется по формуле

.

На практике отыскание функции-оригинала обычно проводят  следующим образом: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т. д.

Пример 6. Найти оригинал по его изображению .

Решение. I способ. Здесь , , , – простой корень знаменателя (), – трехкратный корень . Используя формулы (4) и (5), имеем:

т. е. .

II способ. Разобьем дробь на сумму простейших дробей: . Следовательно, .

III способ. Представим как произведение и так как и , то пользуясь свойством умножения изображений, имеем

Контрольные вопросы:

Определение оригинала и изображения. Свойства преобразования Лапласа. Таблица оригиналов и изображений. Теоремы разложения. Формулы обращения преобразования Лапласа.

Литература:

1. Минюк, математика для инженеров: учебник: В 2 т. Т.2/, , ; под общей ред. . ? Минск, ООО “Элайда”: 2004. ? 592 с

2. Математика для инженеров: учебник: В 2 т. Т.2/, , ; под научн. ред. . ? Минск, ООО “Элайда”: 2006. ? 495 с.

Жевняк, математика. Операционное исчисление. Теория вероятностей. Математическая статистика. Случайные процессы / , . ? Минск: ИРФ “Обозрение”, 1997. Бярозкіна, і інтэгральныя ўраўненні:прыклады і задачы. Вуч. дап. / іна, С. А Мінюк.– Гродна, 2002. – 689 с.

  ТЕЗИС ДАННОЙ ЛЕКЦИИ

Первая теорема разложения. Если ? аналитическая функция в окрестности бесконечно удаленной точки  и равна в ней нулю и если лорановское разложение в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид  , то оригиналом    служит функция

,

причем этот ряд сходится при всех t.

Вторая теорема разложения. Если изображение является однозначной функцией и имеет лишь конечное число особых точек , лежащих  в конечной части плоскости, то

.

Если  , то её разлагают на сумму простых дробей и находят оригиналы для каждой простой дроби, используя свойства преобразования Лапласа.

В частности, если  – правильная рациональная дробь, то оригиналом ее служит функция

,

где  ? полюсы кратности  ,  и сумма берется по всем полюсам  .

Если все полюсы простые, то

.