Методические рекомендации по теме: Частные производные высших порядков

  Частные производные функции нескольких переменных являются функциями тех же аргументов и их можно опять дифференцировать по эти аргументам. При этом будем получать частные производные высшего порядка.

Например, функция z = f(x, y)  имеет две частные производные первого порядка: .

Каждую из этих производных можно дифференцировать по х и по у. При этом получим четыре частные производные второго порядка:

= частная производная второго порядка отz, взятая по  х  дважды; = частная производная второго порядка от z, взятая первый раз по  х, второй раз по  у; = частная производная второго порядка отz, взятая первый раз по  у, второй раз по  х;
=частная производная второго порядка отz, взятая по  у  дважды;

Если дифференцировать производные второго порядка, то получим частные производные третьего порядка и т. д.

  Следует заметить, что «смешанные « частные  производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования.  Равны между собой, если они непрерывны, например, =  .

Пример 1. Найти частные производные второго порядка функции

Z = x4 – 2x2y3 + y5 + 1

Решение:  найдем частные производные первого порядка

;

:

z//xx = (4x3 -4xy3)x/= 12x2 – 4y3zyy//= (-6x2y2 + 5y4)y/ = - 12x2y + 20y3

z//xy = (4x3 -4xy3)/y = - 12xy2z//yx =(-6x2y2 + 5y4)/x = - 12xy2

Решить самостоятельно

Найти частные производные второго порядка:

Z = 3x2 +4xy5  2) z = xy – 7xy2  3) z = 2x4 + 5x2y3 -7y6  4) z = x3 -5x2y +5y2 Z = sin(2x +3y)  6) z = x5 + 3y3 + 2x – y  7) z = x +xy +1  8) z = e3x-5y

9) z = cos(x – 6y)  10) z = ex + 3y – 7x2y3