Задания

Задания

7. Даны векторы (x, – 1 , 5) ,(2 , – 4 , 20) , (– 4 , 0 , 5) ,(1 , 1 ,– 1). Найти: а) при каких  значениях x:  || ,  ?,  векторы  ,, – компланарны;  б) длину и направляющие косинусы вектора ;  в) скалярное произведение ?;  г) векторное произведение ?.

8. Пусть . Найти: а) скалярное произведение ?;  б) модуль векторного произведения ?;  в) проекцию вектора на вектор ;  г) площадь треугольника, построенного на векторах и .

9. Даны A1 (14 , 4 , 5) , A2 (– 5 , – 3 , 2) , A3 (– 2 , – 6 , – 3) , A4 ( – 2 , 2 , 1). Найти: а);  б) площадь грани A1A2A3;  в) ;  г) объём пирамиды A1A2A3A4.

10. Пусть (5 , 3 , z) , || = 13. Найти  z  при условии, что вектор образует острый угол с осью OZ.

11. Пусть = (3 , 1 , – 1) , A (– 2 , – 1 , 0) , B (5 , 2 , 0). Найти:  а) работу силы по перемещению из точки A в точку B;  б) модуль момента силы , приложенной к точке A, относительно точки  B.

12. Даны координаты вершин треугольника  ABC: A (– 2; 1), B (– 4; 3), C (0; 5). Требуется найти:

уравнение высоты опушенной из вершины A на сторону BC; уравнение медиан треугольника и их точку пересечения; длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC; уравнение прямой, проходящей через точку A, параллельно стороне BC; точку симметричную точке C относительно стороны AB.

13. Найти точку O пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD, если  A (– 1; – 3), B (3; 5),  C (5; 2), D (3; – 5).

14. Уравнения линий второго порядка привести к каноническому виду. Определить:

тип кривых; координаты фокусов; эксцентриситеты; уравнения асимптот, если они имеются; центр симметрии кривых; сделать чертёж.

а) 16x2 – 9y2 + 64x + 36y – 116 = 0;  б) x2 – 2x – 6y + 1 = 0.

15. Составить уравнение линии, каждая точка которой равноудалена от точки A (4; 0) и прямой L : y + 2 = 0. Привести его к каноническому виду и построить линию.

16. Даны координаты четырёх точек A (0; – 3; 1), B (– 4; 1; 2), C (2; – 1; 5), D (– 3; 4; – 5)  в  пространстве. Требуется найти:

уравнение плоскости, содержащей грань ABC; уравнение прямой, проходящей через точку D, и перпендикулярную грани  ABC; высоту пирамиды, опущенной из вершины  D  на грань  ABC; двугранный угол между гранью  ABC и BCD; проекцию вершины D на грань  ABC; общее уравнение прямой, содержащей ребро BC; координаты точки симметричной точке D относительно грани ABC.

Исследовать на линейную зависимость систему векторов: на . Найти общее решение для каждой из данной систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы)

а)   б)

Найти координаты вектора x в базисе  (), если  он задан в базисе (e1 ,  e2 ,  e3).

Пусть x = (x1,  x2,  x3). Являются ли линейными следующие преобразования:

Найти матрицу линейного оператора в базисе  (), где   если  она задана  в  базисе  (e1 ,  e2 ,  e3).

.

Найти собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей

.