Готовимся к олимпиаде (стр. 12 )

2) Предположим, что доказываемое неравенство верно при n = k, то есть . Докажем, что это неравенство будет верным и при n = k + 1. Действительно, , так как < = .

Следовательно, рассматриваемое неравенство выполняется для всех натуральных n ? 2. Исходное неравенство получается из доказанного при n = 2006.

4. Существует ли треугольник, в котором синус одного угла равен косинусу другого и равен тангенсу третьего?

Ответ: да, существует.

Решение:

Пусть ?, ? и ? – углы треугольника, тогда по условию: .

Так как sin? > 0 при 0 < ? < ?, то cos? > 0 и tg?  > 0, то есть углы ? и ? – острые.

1) Если , то из равенства sin?  = cos? следует, что . Тогда и tg? не существует, то есть этот случай невозможен.

2) Если , то sin? = cos? ? sin(? – ?) = sin( – ?), где углы ? – ? и – ? не тупые. Следовательно, полученное равенство равносильно тому, что ? – ? = – ? ? ? = + ?. В этом случае tg? = tg(? – (? + ?)) = tg( – 2?) = ctg2?, то есть исходная система уравнений имеет решения тогда, и только тогда, когда имеет решения система ? ? ? . Пусть sin? = t, получим уравнение 2t3 – 2t2 – 2t + 1 = 0.

Рассмотрим f(t) = 2t3 – 2t2 – 2t + 1, тогда f(0) = 1 > 0; f(1) = –1 < 0, поэтому такое уравнение имеет хотя бы один корень на (0; 1). Это означает, что существует ?, удовлетворяющее полученной системе, значит существует и треугольник, удовлетворяющий условию задачи.

5. В тетраэдре РАВС высота, опущенная из вершины Р, проходит через точку пересечения высот  треугольника АВС. Найдите отношение площадей граней РАВ и РАС, если РС = 6 – ; РВ = 6 + ; ВС = 2.

Ответ: .

Решение:

Пусть РАВС – данный тетраэдр, ВВ1 и СС1 – высоты треугольника АВС, H – ортоцентр этого треугольника (см. рис. 3).

Рис. 3

Заметим, что = = 76 = , то есть треугольник РВС – прямоугольный (?BPC = 90° по теореме, обратной теореме Пифагора).

Так как прямая СС1 является ортогональной проекцией прямой РС на плоскость АВС и СС1?АВ, то РС?АВ (по теореме о трех перпендикулярах). Кроме того, по доказанному РС?РВ, поэтому РС?АРВ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), следовательно, РС?РА. Аналогично доказывается, что РA?РВ.

Таким образом треугольники РАВ и РАС – прямоугольные (с прямыми углами при вершине Р), тогда .

Тетраэдр, вершина которого ортогонально проектируется в ортоцентр противолежащей грани, называется ортоцентрическим. У него есть много интересных свойств, в частности, остальные его вершины также проектируются в ортоцентры противолежащих граней. В приведенном решении это свойство было доказано для случая, когда одна из граней тетраэдра – прямоугольный треугольник (ортоцентр прямоугольного треугольника – вершина прямого угла). Полученный тетраэдр является прямоугольным, то есть имеет три плоских прямых угла при одной из вершин. Прямоугольный тетраэдр является частным случаем ортоцентрического.