ОСР.

Тема: Вычисление  площадей  с  помощью интегралов.

Цель работы:

    повторить понятия: первообразная, интеграл, правила нахождения первообразных; навык  вычисления  интегралов, нахождение площади криволинейной трапеции; развитие умений и навыков работы с источником информации, с практическим материалом.

Основной теоретический материал: 

. Алгебра и начала математического анализа  10-11 класс, глава 10, §56-58.

Задание:

1)Перепишите и заполните пропуски:

Пример 1. а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 2, у = 0, х = 2, х = 1.

Решение:  Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение у = 0 задает ось ОХ): Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке[– 2;1] график функции у = х2 2 расположен над осью ОХ, поэтому:

Ответ: S = 9 eд2. 

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = , х = 1 и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж: Если криволинейная трапеция расположена под осью OX (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: S = .
В данном случае:

Ответ:

  Пример 2.а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у = 2х , у = .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Найдем точки пересечения параболы у = 2х и

прямой у = . Решаем уравнение:  2х = , 3х = 0, х(3) = 0,

х1 = …, х2 = ...

Значит, нижний предел интегрирования а = 0, верхний предел интегрирования b = 3 .  x = a, x = b, можно найти по формуле: S =  .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Искомая фигура ограничена параболой y = 2х сверху и прямой  у = снизу.
На отрезке[0;3] 2х , по соответствующей формуле

  Ответ: S = 4,5 eд2.  .  б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , y = x , y = 0 , x = 3 .

Решение: Сначала выполним чертеж: Площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке [– 1;1] над осью OX расположен график прямой  y = x ;

2) На отрезке  [1;3] над осью OX расположен график  гиперболы

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ: .

Пример 3.a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

  ,2x .

Решение: Представим уравнения в виде и выполним поточечный чертеж:
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»:   b =  1.
Найдем точки пересечения прямой и параболы
Для этого решаем уравнение:    3x2  = 2x   3x2 2x

D = 4 12  = …, = 4, x1 = , x2 = ... Действительно, a = .

На отрезке по соответствующей формуле: Ответ: .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = , y = 2x .

Решение: Выполним чертеж:
На отрезке по соответствующей формуле:

Ответ: S = 10 eд2.  .

Пример 4.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x ,

xy = 3 .

Решение: Выполним чертеж. На отрезке , по соответствующей формуле:
Ответ: .

Пример 5.a) Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 +10 и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1).

Решение: Неизвестна абсцисса точки касания х = а. Чтобы её найти, составим уравнение касательной: y = f (x0) .

Имеем f(x) = x2    f (x) = 2x;значит, f(a) = a2  f (a) = 2a; уравнение касательной имеет вид:

y = a2  2 a(x ) = a2  2 ax ;

Уравнение касательной y = (1)

По условию касательная должна проходить через точку (0;1), то есть координаты точки (0;1) должны удовлетворять уравнению (1):

1 = 2a?0 ; , a1 = a2 = ...

Подставим найденные значения в уравнение (1):

Если a = то  y = 9 10 Если a = 3 ,

то y = .

Получили два уравнения касательных y = . Параболы y = х2 + 10 они касаются в точках А(– 3;19) и В(3;19).

Найдём площадь фигуры DACB: SDACB = 2?SDCB,

SDACB = 2? 9 = ...

Ответ: 18.

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = 4/x, y = х, х = 4.

Решение: SABC = SMBAD SMBCD;

SMBAD = 1/2(MB ) ?MD = = 1/2 ?(2 ) ?2 = 6;

Ответ: 6 – 4ln2.

2)Решить задание  ( по примерам):

а)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

a) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями  .

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  y = , y = 2x .

a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)?

a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе, проведёнными из точки (0;1).

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

3)Решить задание:

a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и координатными осями.

а)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями .

б)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

a)Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

б)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

a)Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

б) В каком отношении парабола делит площадь четырёхугольника, вершины которого находятся в точках с координатами (0;0); (2;0); (0;6); (2;6)?

a)Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и касательными к этой параболе,  проведёнными из точки (0;1).

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Найти площадь фигуры, ограниченной функцией и осями координат. Найти площадь фигуры, ограниченной функциями и касательной к этой параболе, проведенной в точке (1/2;3/4). Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями . Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями . Найти площадь фигуры, ограниченной линиям  . Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и осью абсцисс. Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямыми , . Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой . Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и .