Численное дифференцирование

4. Численное дифференцирование.

Задание на лабораторные занятия 15.04.15 и 29.04.15 в терминальном зале кафедры ауд. 717 корпуса 24 c 9:00.

Перевести на Фортран программы, составленные на Паскале, для определения первых производных левыми, правыми и центральными разностями для ранее выбранной функции (для невыполнивших задание на Паскале, составить программы сразу на Фортране - это будет возможность реабилитироваться отстающим). Проверить совпадение новых результатов работы пронграмм, составленных на Паскале и Фортране. Сделать вывод. Составить программы на Фортране для определения первых производных в той же точке той же функции по формуле дифференцирования на основе первой инерполяционной формулы Ньютона и на основе формулы Стирлинга. Сравнить результаты, провести анализ и сделать выводы. Оформить в виде отчета и переслать на проверку преподавателю.

3.1. Вычисление производных конечно-разностными формулами

Три способа нахождения производной функции конечно-разностными формулами.

1. Формула левой односторонней разности: 

2. Формула правой односторонней разности:

3. формула центральной разности.

Поясняющий рисунок ниже.

Нахождение производной  в точке от заданной функции с точностью можно проводить примерно по следующему алгоритму:

Задаем точку ,  начальное приращение , точность и некоторое очень маленькое число и переходим к алгоритму подсчета производной от функции в точке:

Шаг 1. Вычисляем  и , для которых находим и ;

Шаг 2. Вычисляем производную в точке по формуле, например, центральных разностей: ;

Проверяем выполнение условия  . Если выполнялось, то искомая производная равна и происходит выход из алгоритма, если не выполнялось, то проводим переприсвоение  , задаем новый шаг и переходим  к выполнению шага 1.

Задание к дифференцированию конечно-разностными формулами

Выбрать дифференцируемую функцию для исследования. Посчитать точное значение производной в некоторой точке k при . Описать способы нахождения производной конечно-разностными формулами. Написать программу (или программы), с помощью которой (ых) найти значение производной в заданной точке .с точность eps=0.001 тремя конечно-разностными формулами (левая, правая и центральная разность), задавая шаг сначала h (слева и справа от выбранной точки), равный какому-либо разумному числу, а потом уменьшая его для достижения заданной точности. Сравнить результаты Сделать выводы.

3.2. Вычисление производных с помощью интерполирующих полиномов

Этот способ можно применять как в случае, когда формула есть, так  и когда функция задана таблицей значений с равноотстоящим шагом по аргументу.

Если формула функция есть, то мы её представляем таблицей значений с равноотстоящим шагом по аргументу, просто вычисляя значения этой функции по заданной формуле.

Если формулы  для функции нет,  а  функция задана таблицей значений функции с равноотстоящим шагом по аргументу, то  алгоритм численного дифференцирования с использованием таблично заданной функции основывается на следующем.  Поскольку любую функцию, заданную таблично, можно представить  интерполяционным многочленом, выбрав какое-нибудь множество из узлов, то формулу производной  от интерполяционного многочлена можно использовать в качестве приближенного значения производной  таблично заданной функции .

Формулы дифференцирования на основе первой инерполяционной формулы Ньютона

Для нахождения первой и второй производных  функции  функцию у, заданную в равноотстоящих точках (i = 0, 1, 2, …,n) отрезка [a, b] значениями , приближенно заменяют интерполяционным многочленом Ньютона, построенным для системы узлов :

Здесь: , откуда ; ; ; …..

Разности высших порядков будут:

Раскрывая скобки и учитывая, что

получим:

Теперь можно вычислить первую производную в любой точке 0,1, 2, 3, …., n) отрезка [a, b], подставив в эту формулу .

Аналогично, учитывая, что = , получим:

Таким же образом можно при необходимости вычислить производную функции y(x) любого порядка.  Заметим, что при вычислении производных в фиксированной точке  x, не входящей в перечень , в качестве   следует брать ближайшее табличное значение аргумента.

Задание.

Использовать дифференцируемую функцию  , для которой находили производную конечно-разностными формулами в точке  . Задать интервал, образованный значениями -5 и +5.  Разбить интервал на 100 отрезков и для каждого (i = 0, 1, 2, …,100) подсчитать значения . В дальнейшем работать с функцией , представленной таблично. Подсчитать первую производную от функции в точке с координатой = по формуле подсчета первой производной, выведенной на основе первой инерполяционной формулы Ньютона,  при этом:

а) сначала использовать только один член формулы, а именно , затем два (),потом три ,  потом  четыре. 

4. Результаты сравнить с теоретическим значением и между собой,  сделать выводы.

5. На повышенную оценку – по формуле Стирлинга тоже для четырех слогаемых.

На основе интерполяционного полинома Стирлинга.

Обычно формулы численного дифференцирования применяют для нахождения производных в узлах , а так как при этом любую точку можно принимать за начальную, то формулы записывают для .

Формулы численного дифференцирования, рассмотренные ранее, используют лишь значения функции при . Более точный результат дают центральные формулы дифференцирования, которые учитывают значения данной функции как при   так и при  .

Одна из подобных формул получается, если за основу взять интерполяционную формулу Стирлинга.

Приводимые ниже формулы численного дифференцирования применяются в тех случаях, когда функция задана таблично

( в равносторонних узлах . При этом находится в середине таблицы.

Пусть …,   шагом  . Значения данной функции в этих точках .

Здесь:……… ; ;;; ; ; …..

Разности высших порядков будут:

Несколько иная запись производных по формуле Стирлинга.

Полагая   и заменяя функцию интерполяционным полиномом Стирлинга, получим с учетом :

Здесь:

и т. д.