ПАРНАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Методические рекомендации по выполнению задач
Определение: Уравнение вида 
называется уравнением линейной регрессии, где y – зависимая (результирующая переменная), x - независимая переменная (регрессор), a и b – параметры, 
- ошибка.
Модель линейной регрессии (линейное уравнение) является наиболее простым и распространенным видом зависимости между экономическими переменными. Кроме того, построение уравнения линейной регрессии может служить начальной точкой эконометрического анализа.
Одна из задач линейного регрессионого анализа состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным (xi, yi, i = 1, 2, 3, … n) для переменных X и Y получить наилучшие оценки неизвестных праметров a и b и построить модель.
Для расчета модели необходимо найти параметры модели а и b. Наиболее простым и теоретически обоснованным является метод наименьших квадратов (МНК). Оценки коэффициентов регресии, наиденные МНК, обладают рядом оптимальных свойств.
Рассмотрим на примере применение МНК к построению модели линейной регрессии.
Пример. Построить линейную модель связи между стоимостью основных производственных фондов и среднесуточной производительностью основных предприятий региона N.
Стоимость основных фондов (X, млн. руб.) | Среднесуточная производительность (Y, тонн) | |
Пред. 1 | 2 | 18,6 |
Пред. 2 | 2,1 | 19,1 |
Пред. 3 | 2,3 | 20,2 |
Пред. 4 | 2,4 | 20,7 |
Пред. 5 | 2,9 | 22,3 |
Пред. 6 | 3,3 | 25,4 |
Пред. 7 | 3,8 | 29,6 |
Пред. 8 | 4,6 | 30,2 |
Пред. 9 | 5,1 | 34 |
Пред. 10 | 5,4 | 35,7 |
Построим поле корреляции, на котором отразим табличные данные:
и 
, где
- среднее значение независимой переменной,
- среднее значение зависимой переменной,
- среднее значение произведения независимой и зависимой переменной,
- среднее значение квадрата независимой переменной.
Для удобства вычислений построим таблицу, в которую внесем все расчеты:
|
|
|
| |
1 | 2 | 18,6 | 4 | 37,2 |
2 | 2,1 | 19,1 | 4,41 | 40,11 |
3 | 2,3 | 20,2 | 5,29 | 46,46 |
4 | 2,4 | 20,7 | 5,76 | 49,68 |
5 | 2,9 | 22,3 | 8,41 | 64,67 |
6 | 3,3 | 25,4 | 10,89 | 83,82 |
7 | 3,8 | 29,6 | 14,44 | 112,48 |
8 | 4,6 | 30,2 | 21,16 | 138,92 |
9 | 5,1 | 34 | 26,01 | 173,4 |
10 | 5,4 | 35,7 | 29,16 | 192,78 |
Сумма | 33,9 | 255,8 | 129,53 | 939,52 |
Среднее | 3,39 | 25,58 | 12,953 | 93,952 |
Таким образом, 
,
,
,
,
Значит, уравнение линейной регрессии имеет вид: 
.
Рассчитаем коэффициент детерминации
и вычислим ошибку аппроксимации 
, используя формулы: 
,
, где 
.
Для удобства вычислений расширим таблицу расчетов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
1 | 2 | 18,6 | 4 | 37,2 | 18,6954 | -6,8846 | 47,3982 | -6,98 | 48,7204 | 0,005127 |
2 | 2,1 | 19,1 | 4,41 | 40,11 | 19,1907 | -6,3893 | 40,8236 | -6,48 | 41,9904 | 0,004747 |
3 | 2,3 | 20,2 | 5,29 | 46,46 | 20,1813 | -5,3987 | 29,1464 | -5,38 | 28,9444 | 0,000928 |
4 | 2,4 | 20,7 | 5,76 | 49,68 | 20,6766 | -4,9034 | 24,0438 | -4,88 | 23,8144 | 0,001133 |
5 | 2,9 | 22,3 | 8,41 | 64,67 | 23,153 | -2,427 | 5,89012 | -3,28 | 10,7584 | 0,038253 |
6 | 3,3 | 25,4 | 10,89 | 83,82 | 25,1342 | -0,4458 | 0,19871 | -0,18 | 0,0324 | 0,010463 |
7 | 3,8 | 29,6 | 14,44 | 112,48 | 27,6107 | 2,03072 | 4,12382 | 4,02 | 16,1604 | 0,067205 |
8 | 4,6 | 30,2 | 21,16 | 138,92 | 31,5731 | 5,9931 | 35,9172 | 4,62 | 21,3444 | 0,045467 |
9 | 5,1 | 34 | 26,01 | 173,4 | 34,0496 | 8,46959 | 71,7339 | 8,42 | 70,8964 | 0,001458 |
10 | 5,4 | 35,7 | 29,16 | 192,78 | 35,5355 | 9,95548 | 99,1115 | 10,12 | 102,4144 | 0,004608 |
Сумма | 33,9 | 255,8 | 129,53 | 939,52 | 358,387 | 365,076 | 0,17939 | |||
Среднее | 3,39 | 25,58 | 12,953 | 93,952 | 0,017939 |
Таким образом, 
,
.
Коэффициент детерминации близок к 1, что соответствует линейной взаимосвязи между переменными X и Y, ошибка апроксимации не более 2 %, что свидетульствует о высокой точности построенной модели линейной регрессии.
