6637. По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах h1 = 20 см и h2 = 40 см от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок).

6637. По внутренней поверхности гладкой конической воронки, стоящей вертикально, скользят с постоянными по величине скоростями на высотах h1 = 20 см и h2 = 40 см от вершины конуса две маленькие шайбы (см. рисунок).  Запишите для таких шайб аналог третьего закона Кеплера, то есть найдите отношение квадратов их периодов обращения вокруг оси конуса.

Дано: h1 = 20 см и h2 = 40 см.

Найти:

Решение. Рассмотрим движение одной из шайб с постоянной скоростью v по окружности радиусом R на высоте h от вершины конуса. На шайбу действуют сила тяжести mg и сила реакции N со стороны воронки. Уравнения движения шайбы в проекциях на вертикальное и радиальное направления имеют вид

где ? — угол полураствора конуса. Кроме того,

Из этих уравнений получаем

и период обращения

Таким образом, аналог третьего закона Кеплера для описанных в условии шайб имеет вид

Ответ: