правительство Российской Федерации
Санкт – Петербургский государственный университет
МАТЕМАТИКО-МЕХАНИЧЕСКИЙ факультет
Принята на заседании кафедры высшей алгебры и теории чисел Зав. кафедрой, профессор | УТВЕРЖДАЮ Декан факультета, профессор |
ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"Теория чисел "
Специальность – 01.01.06 «Математическая логика, алгебра и теория чисел»
Санкт – Петербург
2012 г.
1. ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЙ Раздел
Основная задача курса — дать аспиранту общее представление о современной алгебраической теории чисел.
Целью курса является формирование понимания основ современной теории чисел и ее связи с другими разделами математики и создание представления о применении теории чисел к различным областям человеческой деятельности.
Слушатели курса должны овладеть основными утверждениями и методами алгебраической теории чисел.
Построение курса подразумевает ознакомление аспирантов с историей предмета, его структурой и основной учебной литературой.
2. ОБЪЕМ КУРСА
Продолжительность обучения | 1-2 года обучения |
Общая трудоемкость | 108 часов |
из них: лекций | 50 часов |
самостоятельная работа | 58 часов |
Изучение дисциплины, формы контроля: | |
1 год: | лекции – 16 ч., самостоятельная работа – 20 ч. |
2 год: | лекции – 34 ч., самостоятельная работа – 38 ч., зачет |
экзамен
3. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Дедекиндовы области и их целые расширения. Дискретные и архимедовы нормирования. Пополнения. Лемма Гензеля. Продолжения нормирований на расширения. Группы разложения. Дивизоры и идеалы. Глобальные поля. Группа классов идеалов. Теорема Дирихле о единицах. Адели и идели. Шифрование с открытым ключом. Алгоритмы RSA и Эль-Гамаля; дискретное логарифмирование. Различные алгоритмы разложения на множители. Эллиптические кривые; ECC криптография. Вычисление количества точек на эллиптической кривой. Фробениус, двойственная изогения. Степень изогении. Гипотезы Вейля для эллиптических кривых.
РАЗДЕЛ 2. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ
Полные дискретно нормированные поля. Кольцо целых, его единицы, максимальный идеал, главные единицы. Нормирования на расширениях и конечномерных алгебрах с делением. Неразветвленные, слабо разветвленные, дико и свирепо разветвленные расширения. Верхние и нижние группы ветвления. Когомологии Галуа. Стандартный комплекс. Когомологии циклических групп. Замена группы. Теорема Гильберта о единицах. Группа Брауэра; когомологическая формула. Группа Брауэра локального поля. Отображение взаимности. Символ Гильберта. Основная теорема. Связь с фильтрацией ветвления. Формальные группы. Теория Любина-Тэйта.
РАЗДЕЛ 3. ГЛОБАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЕЙ КЛАССОВ.
Автоморфизм Фробениуса. Закон взаимности Артина. Глобальные и локальные отображения взаимности. Группа Брауэра глобального поля. Когомологии иделей; неравенства. Основная теорема. Вывод квадратичного закона взаимности. Кубический и биквадратичный закон взаимности. Поле классов Гильберта. Теорема Голода-Шафаревича. Теорема Кронекера-Вебера. Эллиптические кривые с комплексным умножением. Абелевы расширения мнимых квадратичных полей. Абелевы многообразия и абелевы расширения CM-полей.
Примерный перечень вопросов к зачету по всему курсу
1. Дедекиндовы области и их идеалы.
2. Расширения дедекиндовых областей.
3. Нормирования, дивизоры и идеалы.
4. Архимедовы нормирования.
5. Теорема Дирихле о единицах в порядках числовых полей.
6. Конечность группы полей классов для числового поля.
7. Основные свойства дискретно нормированных полей.
8. Пополнение нормированного поля — поле.
9. Теорема Островского.
10. Лемма Гензеля.
11. Теорема о продолжении нормирований.
12. Аппроксимационные теоремы.
13. Адели и идели.
14. Алгоритмы RSA и Эль-Гамаля.
15. Задача дискретного логарифмирования.
16. Разложение на множители с помощью квадратичного решета.
17. Разложение на множители с помощью теоретико-числового решета.
18. Эллиптические кривые; простейшие свойства.
19. Дивизоры и групповой закон для эллиптических кривых.
20. Изогении; двойственные к ним и их степени.
21. Эндоморфизмы эллиптических кривых.
22. Вычисление количества точек на многообразии над конечным полем.
23. Гипотезы Вейля для эллиптических кривых.
24. Продолжение нормирований на конечномерные алгебры с делением.
25. Фильтрация ветвления на группе Галуа; ее факторы и разрешимость расширений локальных полей.
26. Верхние группы ветвления; поведение при переходе к подрасширениям.
27. Теорема Хассе-Арфа.
28. Когомологии групп: функториальность.
29. Стандартные комплексы.
30. Вычисление низших групп когомологий Тэйта.
31. Когомологии циклических групп.
32. Точная последовательность инфляции и ограничения.
33. Теорема Гильберта 90.
34. Расширения Куммера.
35. Группа Брауэра: определение.
36. Группа Брауэра: когомологические формулы.
37. Тривиальность группы Галуа максимального неразветвленного расширения локального поля.
38. Группа Брауэра локального поля.
39. Отображение взаимности; символ Гильберта.
40. Локальная теория полей классов.
41. Теорема существования.
42. Связь между фильтрацией ветвления и фильтрацией на мультипликативной группы.
43. Формальные группы и их гомоморфизмы.
44. Формальные группы Любина-Тэйта и их эндоморфизмы.
45. Конструктивная теория полей классов для p-адических полей
46. Автоморфизмы Фробениуса для глобальных полей.
47. Глобальные и локальные отображения взаимности.
48. Закон взаимности Артина; равносильные формулировки и следствия.
49. Когомологии иделей.
50. Группа Брауэра глобального поля.
51. Первое неравенство для когомологий иделей.
52. Второе неравенство.
53. Глобальная теория полей классов.
54. Теорема существования.
55. Вывод квадратичного закона взаимности.
56. Кубический и биквадратичный закон взаимности.
57. Поле классов Гильберта.
58. Теорема Голода-Шафаревича: не всякое глобальное поле вкладывается в поле с тривиальной группой полей классов.
59. Теорема Кронекера-Вебера.
60. Эллиптические кривые с комплексным умножением над числовыми полями.
61. Абелевы расширения мнимых квадратичных полей.
62. Абелевы многообразия: базовая теория.
63. Абелевы расширения CM-полей.
4. ЛИТЕРАТУРА
Основная
1. Касселс Дж., лгебраическая теория чисел, М.: Мир, 1969.
2. Fesenko I. B., Vostokov S. V. Local fields and their extensions, The Second Edition, American Math Society, Translations of Math Monographs vol. 121, 2002.
3. лассическое введение в современную теорию чисел, М.: Мир, 1987.
4. L. Washington, Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, 2nd edition, CRC Press, 2009.
Дополнительная
1. J.-P. Serre, Local fields, Springer, 1980.
2. С. Ленг, Алгебраические числа, Санкт-Петербург, 2010.
3. G. Shimura, Abelian Varieties with Complex Multiplication and Modular Functions, Princeton, 1997.
СОСТАВИТЕЛЬ:
, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей алгебры и теории чисел.
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
