УДК 510
Разделенные разности в вопросах построения устойчивых спектральных разложений
, старший преподаватель, магистр математики
Казахский государственный женский педагогический университет,
Алматы, Казахстан
Аннотация: В работе исследуется случай счетного спектра оператора L. Рассматривается разделенные разности в вопросах построения устойчивых спектральных разложений связанных с оператором дифференцирования
Ключевые слова: резольвента, дискретный спектр, проектор, корневое пространство, спектральное пятно, изолированность
В гильбертовом пространстве 
при 
рассмотрим линейный оператор L, порождаемый дифференцированием 
и не с пустым резольвентным множеством. Не умоляя общности, считаем нуль принадлежит резольвентному множеству оператора L. В указанном случае оператор L имеет дискретный спектр, то есть спектр состоит только из нормальных собственных значений.
Пусть 
собственное значение кратности 
оператора L. Нормальность собственного значения 
гарантирует изолированность
и 
Вычет резольвенты (L-
с противоположным знаком в точке 
совпадает с проектором 
на корневое пространство Кеr(L - 
I)
. Для призвольного элемента f из пространства 
поставили в соответствие ряд
(1)
и рассмотрим вопрос об его сходимости в том или ином смысле. Заметим, что спектр оператора L может оказаться пустым или счетным множеством. Ниже доказано, что исключается случай конечного, но непустого спектра.
В данной работе исследуется случай счетного спектра оператора L. Для того чтобы система проекторов 
являлось базисом Рисса в 
необходимо выполнение условия отделимости спектра
=
(2)
Поэтому в работе изучается сходимость разложений ряда (1) или его модификации как в случае (2) , так и при нарушении условия отделимости (2). Когда нарушается условие (2), то ряд (1) надо перегруппировать в соответствии с проекторами, порождаемыми инвариантными подпространствами оператора L, соответствующими так называемым спектральным пятном. Тогда разложение типа (1) будет происходить, вообще говоря, не по корневым функциям оператора L, а по некоторым линейным комбинациям корневых функций. Ниже доказано, что выбор базиса в отдельных инвариантных подпростраствах oператора L, соответсвующего спектральному пятну может осуществляться на основе раздельных разностей.
О спектре оператора L.
Утверждение 1. Пусть действие линейного оператора L в 
определено по формуле 
и в 
существует ограниченный оператор 
. Тогда найдется единственная функция такая, что область определения оператора L имеет вид
D(L)=
Обратное утверждение так же верно и проверяется непросредственным образом.
Утверждение1 и обратное утверждение в явном и неявном виде можно найти в работах М. Отелбаева и . Заметим, что оператор L может иметь неплотную область определения.
Стандартным методом строится резольвента 
Утверждение 2. Резольвента 
определяется по формуле
(3)
и существует при условии 
. Здесь 
означает характеристический определитель оператора L и
Доказательство. Обозначим правую часть равенства (3) через y(x).
Найдем производную
Отсюда находим
Теперь проверим принадлежность 
Рассмотрим разность
Утверждение 2 полностью доказано.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Tutchmarch E. C. The zeros of certain integral functions // Proc. London Math Soc.1926 v/25.N4. p.283-302. Cartwright M. L. The zeros of certain integral functions // The Quarter by Journal of Math. Oxford series 1930.v.1, N1. P.38-59. Биортогональное разложения функций в ряды экспонент на интервалах вещественной оси // УМН.1982.т.37, вып. 5 (227). С.51-95Автор: Батырбаева Г?лниет Асылхан?ызы
Та?ырыбы: Орны?ты спектрлік жіктеулерді ??руда?ы б?лінген айырымдар
Т?йіндеме. Ма?алада дифференциалдау операторымен байланысты орны?ты спектрлік жіктеулерді ??руда?ы б?лінген айырымдар туралы айтылады
Author: Batyrbaeva Gulniyet Asylhanovna
The theme of the: Divided differences in matters of building sustainable spectral expansions
Summary. The article describes the divided differences in matters of building sustainable spectral expansions associated with differentiation
